CÓ BAO NHIÊU CẶP SỐ NGUYÊN  X Y ;  THỎA MÃN ĐỒNG THỜI CÁC ĐIỀU K...

Câu 9: Có bao nhiêu cặp số nguyên  ^{x y ;}  thỏa mãn đồng thời các điều kiện 0  x  2020 , 1  y  2020

và 4

 log

 y  3   16.2

 log

 2 x  1  .

A. 2019 . B. 2020 . C. 1010 . D. 1011 .

Lời giải

Ta có 4

 log

 y  3   16.2

 log

 2 x  1 

log 3 16.2 log 2 1 4

y x

     

   

     

log 3 2 log 2 1 2 *

+ Khi x  0 thì y   2 (không thỏa đề)

+ Khi x  1 thì y  0 (không thỏa đề)

+ Khi x  1 , Xét f t    log

t  2

trên  ^{4;  }  ^.

t

1 .2 .ln 2.ln 2



f t

  

Khi đó   ^{1 2 .ln 2}

0, 4

t t

   

ln 2

t

Suy ra hàm f t    log

t  2

nghịch biến trên  ^{4;  }  . Do đó phương trình (*) thành:

y   x   y  2  2 x  y  2 chẵn.

3 2 1

2 3 2 3 3

    

y x x

  

 2;3; 4;...;1011 

Vì 1  y  2020 nên

  x

 

2 2022 2 2022 2

  

  

    

x

1011

Do đó  x y ^;     2; 2 , 3; 4 , 4; 6 , 5;8 ,..., 1011; 2020           .

Vậy có 1010 cặp số nguyên  ^{x y ;}  ^.