TRONG KHÔNG GIAN OXYZ , CHO MẶT CẦU    S

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu    ^{S : x  1} 

^  ^{y  2} 

^  ^{z  3} 

^{ 25 và M}  ^{4; 6; 3}  ^{. Qua M}

kẻ các tia Mx , My , Mz đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm thứ hai tương ứng là A ,

B , C . Biết mặt phẳng  ^ABC  luôn đi qua một điểm cố định ^{H a b c}  ^{; ;}  ^{. Tính} a  3 b  c .

A. 9 . B. 14 . C. 11. D. 20 .

Lời giải

Ta có ^M  ^{4; 6;3}  nằm trên mặt cầu   ^{S tâm I}  ^{1; 2;3}  ^{bán kình} R  5 .

Dựng hình hộp chữ nhật nội tiếp hình cầu, có ba cạnh là MA , MB , MC .

Ta có tâm ^I  ^{1; 2;3}  của mặt cầu cũng là tâm của hình hộp chữ nhật.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MAFC .

Trong mặt phẳng  ^MBF  ^{, gọi H  MI  BO  H  BO }  ^ABC    ¹

Do H là trọng tâm của  BMF nên 2

MH  3 MI .

Do I , M cố định nên H cố định   ²

Từ   ^{1 và}   ^{2 suy ra}  ^ABC  luôn đi qua điểm cố định H .

 

, với ^{MH a }  ^{ 4; b  6; c  3}  ^{; MI }  ^{  3; 4;0} 

Gọi ^{H a b c}  ^{; ;}  ^{. Ta có 2}

MH  3 MI

4 2

 

a

2

  



 

6 8

10

Ta được

.

b

  



3



 



c

3 0

 

Vậy a  3 b   c 2 10 3    9 .