(H.7.11) VẼ ĐIỂM M ĐỐI XỨNG VỚI D QUA AB VÀ VẼ ĐIỂM N ĐỐI XỨNG...

Bài 3. (h.7.11) Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó  ; MF DF EN ED. Chu vi DEF DF FE ED MF FE EN    Chu vi DEFnhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó. Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất. Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12). Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi DEFnhỏ nhất. Thật vậy, khi ADBCthì chu vi DEFbằng MN và MN nhỏ nhất. (1) Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi DEF bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN. (2) Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của ABC. Thật vậy, xét DEFcó các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF. Ta có: DCDA nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của DEF . Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E. Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra FCFBhay CF AB. Chứng minh tương tự, ta được BE AC. Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.