(H.7.11) VẼ ĐIỂM M ĐỐI XỨNG VỚI D QUA AB VÀ VẼ ĐIỂM N ĐỐI XỨNG...
Bài 3. (h.7.11) Vẽ điểm M đối xứng với D qua AB và vẽ điểm N đối xứng với D qua AC. Khi đó ; MF DF EN ED. Chu vi DEF DF FE ED MF FE EN Chu vi DEFnhỏ nhất khi độ dài đường gấp khúc MFEN ngắn nhất. Muốn vậy bốn điểm M, F, E, N phải thẳng hàng theo thứ tự đó. Do đó ta phải tìm điểm D trên BC sao cho MN nhỏ nhất. Theo kết quả bài 7.2, để MN nhỏ nhất thì D là hình chiếu của A trên BC. Khi đó E và F lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB (h.7.12). Ta chứng minh với cách xác định D, E, F như vậy thì chu vi DEFnhỏ nhất. Thật vậy, khi ADBCthì chu vi DEFbằng MN và MN nhỏ nhất. (1) Khi D, E, F ở những vị trí khác thì chu vi DEF bằng độ dài đường gấp khúc MFEN do đó lớn hơn MN. (2) Chú ý: Ta có nhận xét điểm E là chân đường cao vẽ từ đỉnh B, điểm F là chân đường cao vẽ từ đỉnh C của ABC. Thật vậy, xét DEFcó các đường BF và CE lần lượt là các đường phân giác ngoài tại đỉnh F và E. Hai đường thẳng này cắt nhau tại A nên tia DA là tia phân giác của góc EDF. Ta có: DCDA nên DC là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của DEF . Mặt khác, EC là đường phân giác ngoài tại đỉnh E. Điểm C là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên FC là đường phân giác trong. Kết hợp với FB là đường phân giác, suy ra FCFBhay CF AB. Chứng minh tương tự, ta được BE AC. Như vậy ba điểm D, E, F có thể xác định bởi chân của ba đường cao của tam giác.