CHO TAM GIÁC ABC NHỌN KHÔNG CÂN CÓ CÁC ĐƯỜNG CAO AD, BE, C F VỚ...

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn không cân có các đường cao AD, BE, C F với D, E , F

là các chân đường cao. Đường tròn đường kính AD cắt DE, DF lần lượt tại M , N . Lấy

các điểm P , Q tương ứng trên AB, AC sao cho N P ⊥ AB, MQ ⊥ AC . Gọi ( I ) là đường tròn

ngoại tiếp tam giác APQ.

a) Chứng minh rằng ( I ) tiếp xúc với E F.

b) Gọi T là tiếp điểm của ( I ) với E F , K là giao điểm của DT, M N và L đối xứng

với A qua M N . Chứng minh rằng ( DK L ) đi qua giao điểm của M N và E F.

Lời giải. a) Gọi T là hình chiếu của A lên E F. Ta thấy rằng F C là phân giác trong của

góc ∠ DF E nên hai tia F M , F T đối xứng nhau qua AB. Mặt khác, ∠ F N A = ∠ F TA = 90

nên N , T đối xứng nhau qua AB. Suy ra N , P , T thẳng hàng và T P ⊥ AB. Tương tự thì

T Q ⊥ AC và T, M , Q thẳng hàng.

Từ đó dễ thấy rằng AT chính là đường kính của ( I ) , mà AT ⊥ E F nên E F tiếp xúc ( I ).

b) Gọi X , Y, Z, J lần lượt là giao điểm của M N với E F, AB, AC , AD. Theo tính chất quen

thuộc thì hai điểm N , M đối xứng với chân đường cao T qua AE, AF thì M N sẽ đi qua

chân đường cao đỉnh E , F của tam giác AE F. Suy ra EY ⊥ AB, F Z ⊥ AC . Ngoài ra, theo

tính đối xứng thì ta cũng có AD là trung trực M N nên J là trung điểm M N .

Do đó D ( E F, T X ) = − 1. Chiếu lên M N , ta có ( M N , K X ) = − 1. Theo hệ thức Newton

cho hàng điểm điều hòa trên thì

J K · J X = J M

= J N

= − JA · J D = J L · J D.

Suy ra tứ giác D LKS nội tiếp. Ta có đpcm.

Nhận xét. Mô hình của bài toán khai thác khá mới mẻ nhưng không khó. Có nhiều cách

tiếp cận để chứng minh ý b, theo kiểu tính toán hệ thức lượng hoặc biến đổi góc. Hướng

xử lý theo kiểu dùng hàng điểm điều hòa như trên khá nhẹ nhàng và đẹp mắt.

Nếu quan sát kỹ, ta thấy bản chất các điểm M , N chính là tiếp điểm của đường tròn bàng

tiếp ( A ) của tam giác DE F lên các cạnh DE, DF. Ta còn chứng minh được DK , AX cùng

đi qua điểm chung khác A của ( I ) và đường tròn đường kính AD.