VỚI CÁC SỐ DƯƠNG X, Y, Z BẤT KÌ, ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ–SI C...

Câu 10. Với các số dương x, y, z bất kì, áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho ba số dương, ta có:  1 1 1 3 1 1 1 9

( )

³

+ + + + ≥ = ⇒ + + ≥  + +x y z .3 xyz 9  (*) x y z xyz x y z x y z

3

Áp dụng (*) ta có:      a b c 1 1 1 1 1 1+ + = +  + +  + + − − −  −   −   − 2a 1 2b 1 2c 1 2 4a 2 2 4b 2 2 4c 23 1 1 1 3 9 3t= + − + − + − ≥ + + + − = −

( )

2 4a 2 4b 2 4c 2 2 4 a b c 6 2t 3Với t = a + b + c, t ≥ 3 (1) Mặt khác vì a, b ≥ 1 nên

(

^{a 1 b 1−}

)(

^{− ≥ ⇔}

)

^{0 ab 1 a+ ≥ +b}. Tương tự bc 1+ ≥ +b c, ca 1+ ≥ +c a18 18 9 9Suy ra + + + + + + + (2) 3 ab bc ca≤ 2 a b c =a b c= tTa chứng minh ^{3t 9 3t}

²

^{18t 27 0 3 t 3}

( )

²

⁰− luôn đúng. (3) 2t 3≥ ⇔t − + ≥ ⇔ − ≥Từ (1), (2), (3) ta có đpcm.