2 4X Y XY1 1 1X Y XY X Y X Y  2               TA CÓ

2

.2

4

x

y

xy

1

1

1

x

y

xy

x

y

x

y

  

2





 





















 

 











Ta có:

A

₂

¹

₂

²

4xy

₂

¹

₂

¹

4xy

¹

⁵

x

y

xy

x

y

2xy

4xy

4xy

4

1

5

4

5

11









 





=>

A

2 4xy.

2

11

  

²



²

  

²



²













2

2

x

2xy

y

4xy

x

y

x

y

x

y

x

y

VD 7: : Cho

¹

x

 

2

, Tìm GTLN của

A = 2x

²



5

x



2 + 2 x+3 - 2x



 

  

Giải : Ta có :

^{A = 2x}

²

 

⁵

x

2 + 2 x+3 - 2x =



2x 1





x



2 + 2 x+3 - 2x



Với

¹



x

 

2

ta có:

^{2x 1 0}

x

2

0

 





áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số

2x 1, x+2



Ta có:

^{2x 1 x+2}



^{2x 1 x+2}

 







Dấu “ = ” xảy ra khi

2x 1

 

x+2



x=1

Hay :

^{3x 3}



^{2x 1 x+2}

 

 









áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số

x 3, 4



Ta có:

^{x 3 4}

⁴



³



²

³

2

x

x

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline: 024 2242 6188







. Dấu “ = ” xảy ra khi

x 3

  

4

x=1

Hay :

^x

⁷

2

3

2

x







3x

3



- 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi

x=1

Do đó:

A

^x

⁷

VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của:

S =

¹

⁴

⁹

x

 

y

z









 





 









 



Ta có: S =



^{x + y + z}



¹

⁴

⁹



 

 









 







=

1+4+9+

y

⁴

x

⁴

z

⁹

y

⁹

x

z

x

y

y

z

z

x

x

y

z

áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương

y

,

⁴

x

x

y

ta có :

y

⁴

x

2

y

.

⁴

x

4

x



y



x

y



Tương tự ta có :

⁴

z

⁹

y

2

⁴

z

.

⁹

y

12

y



z



y

z



;

⁹

x

z

2

⁹

x z

.

6

z

 

x

z

x



 S



1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36

 



y

x

4











1

x

y

y

x

y











4

2

3







z

y

4

9



















4

9

1









Dấu “=” sảy ra khi :

3

6

z

x

x

y

z











  



x

z

9

1

9

1

1









  





x

y

z

z





z

x

1

2

   

Vậy Min S = 36 khi

¹

,

¹

,

¹

y



x



z



3

6

2

Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó



 

x

x

  

  

VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của

A



3

x

 

5

7 3



x

, ĐKXĐ :

³

⁵

⁰

⁵

⁷

7 3

0

3

3

Bình phương hai vế ta có : A

²

= 2 +

²



³

^x

^

^{5 7 3}



^

^x



Với

⁵

⁷

3

 

x

3

. áp dụng bất đẳng thức côsi cho



³

^x

^

⁵



^và



^{7 3x}

^



^{ta có:}



³

^x

^{  }

⁵

 

^{7 3}

^x



^

²



³

^x

^

^{5 7 3}



^

^x



hay

²

^

²



³

^x

^

^{5 7 3}



^

^x



 A

²



4 =>A



2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2 VD2: Tìm GTNN của biểu thức:

A = -x

²



2

x

 

8

-x

²

 

x

2

(*)

 









 



  









   

2

4

0

-x

2

8

0

2

4

ĐKXĐ :

  



  









  

  











-x

2

0

1

2

0

Khi đó

^-x

²

^

²

^x

^{ }

⁸



^-x

²

^{ }

^x

²



^{  }

^x

⁶

⁰

=> A > 0 Từ (*) =>

^{A = -x}

²

²

^

²

^x

^{ }

⁸



^-x

²

^{  }

^x

²



²



^-x

²

^

²

^x

^

^{8. -x}

²

^{ }

^x

²



^{= -2x}

²

^

³

^x

^{ }

^{10 2}



^x

^

^{2 4}



^

^x



^x

^

^{1 2}



^

^x



^{= 2}



^

^x



^x

^{  }

²

 

^x

^{1 4}



^{  }

^x



^{2 2}



²

^

^x



^x

^

^{2 .}

 

^x

^

^{1 4}



^

^x



⁼



⁴

^

^x

²



²

^

²

^

²

^

^x

^

^x

^

^{2 .}

^{ }

^x

^

^{1 4}

^

^

^x

^{ }

^

^x

^

^{1 4}

^

^

^x

^

²

^

²

^



⁴

^

^x

²

^



^x

^

^{1 4}



^

^x

 

²

^{ }

²

²

A =

2

^{ }

⁴

^x

²

^



^x

^

^{1 4}



^

^x



^{ }

^x

⁰

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )