BÀI 10.CHO HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ABCD A'B'C'D' CÓ AB = A ;AD = B;AA' = C V...

Question

2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo.

Chứng minh rằng sin x sin y sin z 1

²



²



²

 .

Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC

= a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60

⁰

.Tính thể tích lăng trụ.

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?

*) Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải:

Ta có A'A (ABC)& BC AB    BC A'B 

Vậy góc[(A'BC),(ABC)] ABA ' 60  ^ 

^o

ABA'  AA' AB.tan 60 

0

 a 3

 _.

1 BA.BC a

2

a 3

3

2  2

2 S

ABC

=

Vậy V = S

ABC

.AA' =

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một

góc 30

⁰

và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

*) Nhận xét  A'BC có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A'I thế nào với

BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?

*) Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?

*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Giải. ^ ^ABC đều ^ ^{AI BC} ^ mà AA' ^ ^(ABC) nên A'I BC  (đl 3  ).

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = ^{A 'IA}

^

= 30

^o

3 2 x x

AI  

 .Ta có

Giả sử BI = x ² ³

AI AI

30 2

' 

⁰

  

:

'

cos

A 2

AI

A

I

x x



. 33

A’A = AI.tan 30

⁰

=

^x ³ ^^x

Vậy V

ABC.A’B’C’

= CI.AI.A’A = x

³

3 Mà S

A’BC

= BI.A’I = x.2x = 8  x  2 .Do đó V

ABC.A’B’C’

= 8 ³

Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy

(ABCD) một góc 60

^o

. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

*) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?

*) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

nam

Giải.

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có

ABCD là hình vuông nên ^{OC BD} ^

CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl 3  ).

Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = ^COC' ^ = 60

^o

Ta có V = B.h = S

ABCD

.CC'

ABCD là hình vuông nên S

ABCD

= a

²

OCC'

 vuông nên CC' = OC.tan60

^o

= ^{a 6}

^{/ 2}

Vậy V = a 6

³

/ 2

Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD)

một góc 60

^o

và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30

^o

BÀI 10.CHO HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ABCD A'B'C'D' CÓ AB = A ;AD = B;AA' = C V...

2) Gọi x,y,z là góc hợp bởi một đường chéo và 3 mặt cùng đi qua một đỉng thuộc đường chéo.

Chứng minh rằng sin x sin y sin z 1





 .

Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC

= a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60

.Tính thể tích lăng trụ.

Phân tích yêu cầu của đề bài ra các yêu cầu nhỏ:

*) Nhận xét AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại sao?

*) Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của tam giác ABC bằng công thức nào ?

*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Lời giải:

Ta có A'A (ABC)& BC AB    BC A'B 

Vậy góc[(A'BC),(ABC)] ABA ' 60   

ABA'  AA' AB.tan 60 

 a 3

 .

1 BA.BC a

a 3

2  2

2

S

=

Vậy V = S

.AA' =

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một

góc 30

và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

*) Nhận xét  A'BC có hình tính gì ? Suy ra I là trung điểm của BC cho ta vị trí AI và A'I thế nào với

BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Đặt BC = 2x . Suy ra A'I bởi tam giác nào ?

*) Từ diện tích tam giá A"BC suy ra x bởi công thức nào?

*) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

Giải.  ABC đều  AI BC  mà AA'  (ABC) nên A'I BC  (đl 3  ).

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A 'IA

= 30

3

2 x x

AI  

 .Ta có

Giả sử BI = x 2 3

AI AI

30 2

' 

  

:

'

cos

A 2

AI

A

I

x x



A’A = AI.tan 30

=

Vậy V

= CI.AI.A’A = x

3

Mà S

= BI.A’I = x.2x = 8  x  2 .Do đó V

= 8 3

Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy

(ABCD) một góc 60

. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

*) Xác định góc[BDC');(ABCD)] = ?

*) Phân tích V= B.h để tìm B và h trong hình là các đối tượng nào ?

*) Tìm diện tích B của ABCD bằng công thức nào ?

*) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?

nam

Giải.

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có

ABCD là hình vuông nên OC BD 

CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl 3  ).

Vậy góc[(A'BC),(ABC)] ABA ' 60  ^ 

 _.

Giải. ^ ^ABC đều ^ ^{AI BC} ^ mà AA' ^ ^(ABC) nên A'I BC  (đl 3  ).

Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = ^{A 'IA}

Giả sử BI = x ² ³

= 8 ³

ABCD là hình vuông nên ^{OC BD} ^

Vậy góc[(BDC');(ABCD)] = ^COC' ^ = 60

= ^{a 6}

Ta có AA' ^ ^(ABCD) ^ AC là hình chiếu của A'C trên

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = ^ A 'CA 30 

BC  AB  BC  A'B (đl 3  ) . ^Þ [(A'BC),(ABCD)] =

= ^{2a 3}

= 2a 3 ^{/ 3}

Vậy V = AB.BC.AA' = ^{16a 2}

^{/ 3}