TRONG KHÔNG GIAN OXYZ, CHO 3 ĐIỂM A(6; 0; 0 ,) (B 0; 6; 0 ,) (C 0; 0;...
Câu 44: Trong không gian Oxyz,
cho 3 điể
m
A
(
6; 0; 0 ,
) (
B
0; 6; 0 ,
) (
C
0; 0; 6
)
. Hai m
ặ
t c
ầu có phương trình
( )
S
1
:
x
2
+
y
2
+
z
2
−
2
x
−
2
y
+ =
1
0
và
( )
S
2
:
x
2
+
y
2
+
z
2
−
8
x
+
2
y
+
2
z
+ =
1
0
cắt nhau theo đường tròn
( )
C
. H
ỏ
i có t
ấ
t c
ả
bao nhiêu m
ặ
t c
ầ
u có tâm thu
ộ
c m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a
( )
C
và ti
ế
p xúc v
ới ba đườ
ng th
ẳ
ng
,
,
?
AB BC CA
A. 4.
B. vô s
ố
.
C. 1.
D. 3.
L
ờ
i gi
ả
i
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng
( )
P chứa đường tròn
( )
C :
Ta có:
( )
S
1
có tâm
I
(
1;1; 0
)
;
( )
S
2
có tâm
J
(
4; 1; 1
− −
)
. M
ặ
t ph
ẳ
ng
( )
P
vuông góc v
ớ
i
IJ
nên
( )
P
có 1
véc tơ pháp tuyế
n là
IJ
=
(
3; 2; 1
− −
)
. Ngoài ra d
ễ
th
ấy điể
m
M
(
1;1;1
)
thu
ộ
c c
ả
( )
S
1
và
( )
S
2
nên
( )
M
∈
C
nên
M
∈
( )
P
. Do đó
( )
P
qua
M
và có véc tơ pháp tuyế
n
IJ
⇒
phương trình mặ
t ph
ẳ
ng
( )
P
:
3
(
x
− −
1
) (
2
y
− − − = ⇔
1
) (
z
1
)
0
3
x
−
2
y
− =
z
0
.
Bước 2: Tìm quỹ tích tâm K của mặt cầu tiếp xúc với cả 3 đường thẳng AB, BC, CA.
G
ọ
i
C A B
',
',
'
l
ần lượ
t là hình chi
ế
u c
ủ
a K xu
ố
ng AB, BC, CA và
K
'
là hình chi
ế
u c
ủ
a K xu
ố
ng
(
)
mp ABC
. Khi đó
KC
'
=
KA
'
=
KB
'
( )
=
r
, do đó
K C
'
'
=
K B
' '
=
K A
' '
, mà
K C
'
'
⊥
AB
,
K B
' '
⊥
CA
,
' '
K A
⊥
BC
nên
K
'
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chú ý rằng tam giác ABC đều nên
K
'
là
trọng tâm tam giác ABC. Do đó
K
' 2; 2; 2
(
)
.
Qu
ỹ
tích điể
m K
là đườ
ng th
ẳ
ng
K K
'
, qua
K
'
và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
ABC
)
.
Bước 3: Giải bài toán.
x
y
z
Phương trình mặ
t ph
ẳ
ng (ABC):
1
6
+ + = ⇔ + + =
.
6
6
6
Nh
ậ
n th
ấ
y
n
(
ABC
) ( )
.
n
P
=
(
1;1;1 . 3; 2; 1
) (
− − = − − =
)
3 2 1
0
nên
(
ABC
) ( )
⊥
P
. Ngoài ra còn th
ấ
y 2 m
ặ
t
phẳng này có điểm chung là
K
' 2; 2; 2
(
)
nên đường thẳng qua K’, vuông góc với
(
ABC
)
nằm trong
( )
P
T
ấ
t c
ả
các điể
m thu
ộc đườ
ng th
ẳng này đề
u là tâm c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u th
ỏa mãn điề
u ki
ện đề
bài.
Ch
ọ
n B.