TRONG KHÔNG GIAN OXYZ, CHO 3 ĐIỂM A(6; 0; 0 ,) (B 0; 6; 0 ,) (C 0; 0;...

Câu 44: Trong không gian Oxyz,

cho 3 điể

m

^A

(

^{6; 0; 0 ,}

) (

^B

^{0; 6; 0 ,}

) (

^C

^{0; 0; 6}

)

^{. Hai m}

ặ

t c

ầu có phương trình

( )

S

1

:

x

²

+

y

²

+

z

²

−

2

x

−

2

y

+ =

1

0

và

( )

S

2

:

x

²

+

y

²

+

z

²

−

8

x

+

2

y

+

2

z

+ =

1

0

cắt nhau theo đường tròn

( )

^C

^{. H}

ỏ

i có t

ấ

t c

ả

bao nhiêu m

ặ

t c

ầ

u có tâm thu

ộ

c m

ặ

t ph

ẳ

ng ch

ứ

a

( )

^C

^{và ti}

ế

p xúc v

ới ba đườ

ng th

ẳ

ng

,

,

?

AB BC CA

A. 4.

B. vô s

ố

.

C. 1.

D. 3.

L

ờ

i gi

ả

i

Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng

( )

P chứa đường tròn

( )

^{C :}

Ta có:

( )

S

1

có tâm

^I

(

^{1;1; 0}

)

^;

( )

S

2

có tâm

^J

(

^{4; 1; 1}

^{− −}

)

^{. M}

ặ

t ph

ẳ

ng

( )

^P

vuông góc v

ớ

i

IJ

nên

( )

^P

^{có 1}

véc tơ pháp tuyế

n là

^IJ

^

⁼

(

^{3; 2; 1}

^{− −}

)

. Ngoài ra d

ễ

th

ấy điể

m

^M

(

^1;1;1

)

^thu

ộ

c c

ả

( )

S

1

và

( )

S

2

nên

( )

M

∈

C

nên

^M

^∈

( )

^P

. Do đó

( )

^P

^qua

^M

và có véc tơ pháp tuyế

n

IJ



⇒

phương trình mặ

t ph

ẳ

ng

( )

^P

^:

³

(

^x

^{− −}

¹

) (

²

^y

^{− − − = ⇔}

¹

) (

^z

¹

)

⁰

³

^x

⁻

²

^y

^{− =}

^z

⁰

^.

Bước 2: Tìm quỹ tích tâm K của mặt cầu tiếp xúc với cả 3 đường thẳng AB, BC, CA.

G

ọ

i

C A B

',

',

'

l

ần lượ

t là hình chi

ế

u c

ủ

a K xu

ố

ng AB, BC, CA và

K

'

là hình chi

ế

u c

ủ

a K xu

ố

ng

(

)

mp ABC

. Khi đó

KC

'

=

KA

'

=

KB

'

( )

⁼

^r

^{, do đó}

^{K C}

^'

^'

⁼

^{K B}

^{' '}

⁼

^{K A}

^{' '}

^{, mà}

^{K C}

^'

^'

^⊥

^AB

^,

^{K B}

^{' '}

^⊥

^CA

^,

' '

K A

⊥

BC

nên

K

'

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, chú ý rằng tam giác ABC đều nên

K

'

là

trọng tâm tam giác ABC. Do đó

^K

^{' 2; 2; 2}

(

)

^.

Qu

ỹ

tích điể

m K

là đườ

ng th

ẳ

ng

K K

'

, qua

K

'

và vuông góc v

ớ

i m

ặ

t ph

ẳ

ng

(

^ABC

)

^.

Bước 3: Giải bài toán.

x

y

z

Phương trình mặ

t ph

ẳ

ng (ABC):

1

6

+ + = ⇔ + + =

.

6

6

6

Nh

ậ

n th

ấ

y

n



(

ABC

) ( )

^.

n



P

=

(

1;1;1 . 3; 2; 1

) (

− − = − − =

)

3 2 1

0

nên

(

^ABC

) ( )

^⊥

^P

. Ngoài ra còn th

ấ

y 2 m

ặ

t

phẳng này có điểm chung là

^K

^{' 2; 2; 2}

(

)

nên đường thẳng qua K’, vuông góc với

(

^ABC

)

nằm trong

( )

^P

T

ấ

t c

ả

các điể

m thu

ộc đườ

ng th

ẳng này đề

u là tâm c

ủ

a m

ặ

t c

ầ

u th

ỏa mãn điề

u ki

ện đề

bài.

Ch

ọ

n B.