A) LẬP BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 2 4 42 2Y XXB) BIỆN LUẬN SỐ GIAO Đ...
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hàm số f x 2 x m . Tìm m để giá trị lớn nhất của
f x trên 1;2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy
max ( ) f x chỉ có thể đạt được tại x 1 hoặc x 2 .
[1;2]
Như vậy nếu đặt M =
max ( ) f x thì M f 1 2 m và M f 2 4 m .
Ta có
2 4 (2 ) ( 4)
m m
(1) (2)
2 2 2 1
M f f m m
.
m m m .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 4 3
(2 )( 4) 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3.
Ví dụ 2: Cho hàm số y 2 x x
2
3 m 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất.
Gọi A max y . Ta đặt t 2 x x
2
t 1 x 1
2
do đó 0 t 1
Khi đó hàm số được viết lại là y t 3 m 4 với t 0;1 suy ra
3 4 5 3
max 3 4 max 3 4 , 5 3
A t m m m
2
[0,1]
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
3 m 4 5 3 m 3 m 4 5 3 m 1
Do đó 1
A 2 . Đẳng thức xảy ra 3
m 2 .
Vậy giá trị cần tìm là 3
m 2 .
Ví dụ 3: Cho a b c , , thuộc 0;2 . Chứng minh rằng: 2 a b c ab bc ca 4
Viết bất đẳng thức lại thành 2 b c a 2 b c bc 4 0
Xét hàm số bậc nhất f a 2 b c a 2 b c bc 4 với ẩn a 0;2
Ta có: f 0 2 b c bc 4 2 b 2 c 0
2 2 2 2 4 0
f b c b c bc bc
Suy ra f a max f 0 ; f 2 0 đpcm.
Ví dụ 4: Cho các số thực không âm x y z , , thoả mãn x y z 3 .
Chứng minh rằng x
2
y
2
z
2
xyz 4 .
Lời giải
Bất đẳng thức t\ưng đương với ( y z )
2
2 yz x
2
xyz 4
2
2
(3 x ) x yz x 2 4 0 yz x ( 2) 2 x
2
6 x 5 0
2
(3 )
2
y z x
(3 )
2
t x .
Đặt t yz , do yz 0 và yz ≤
0; 4
nên
2 4
khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến t , f t ( ) ( x 2) t 2 x
2
6 x 5 .
3
2
f x .
Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f 0 0 và
4 0
2
f x x x
3 1
2
2