CỎC DẠNG VỤ ĐỊNHLIMF X ,LIM F X G X ,LIM F X G X G X     ...

6. Cỏc dạng vụ định

lim

f x

,lim f x g x ,lim f x

g x

 

g x



















         Khi tỡm khi

^x

^

^{x ; x}

⁰

^

^{x ; x}

⁰

^

^

^{x ; x}

⁰

^

^{ }

^{; x}

^{  }

ta gặp cỏc

0

, ,0. ,



   

0

dạng vụ địn, kớ hiệu



, lỳc đú ta khụng dựng được cỏc định lớ về giới hạn cũng như cỏcquy tắc tỡm giới hạn vụ cực. Phộp biến đổi về cỏc định lớ và quy tắc đó biết gọi là phộp khử cỏc dạngvụ địnhB. Cỏc dạng toỏn cơ bảnDạng 1: Tỡm giới hạn của dóy sốPhương phỏp giải: Dựng định nghĩa, tớnh chất và cỏc định lớ về giới hạn của dóy số.

2

8n

3n



lim

n

3

2

Vớ dụ 1: Tỡm: Giải:

8n

3n

3











3

3

3

lim

lim 8

8 2

n

2n

3n 1





lim

n

2

Vớ dụ 2: Tỡm:





3

1

2n

3n 1

2

n n

2

2

2

lim

lim

2







2

1

n

2

1





 

Vớ dụ 3: Tỡm:

^{lim n 1}



^{ }

ⁿ

²

^

¹



2n

2



²



2

lim n 1

n

1

lim

lim

1

 









1

1

n 1

n

1

1

1

 









n

n

.Dạng 2: Chứng minh

^{lim u}

ⁿ

^

⁰

Phương phỏp giải: Sử dụng định lớ:

| u | v











u , v :

lim u

0





n

n

n

lim v

0





(1);Cho hai dóy số  

v

u

w , n











lim u

L













lim v

lim w

L L







(2)

^{1 cos n}



ⁿ





lim

0

Vớ dụ: Chứng minh: 

^{1 cos n}



ⁿ

1





lim

1

0

n



Ta cú: và nờn Dạng 3: Chứng minh

^{lim u}

ⁿ

tồn tạiPhương phỏp giải: Sử dụng định lớDóy (u

n

) tăng và bị chặn trờn thỡ cú giới hạn;Dóy (v

n

) giảm và bị chặn dưới thỡ cú giới hạn.

u

1





cú giới hạn.

n n 1

cho bởi

ⁿ

 Vớ dụ: Chứng minh dóy số 

u

n



u

1

n

n 1

.

1, n.









 

u

n 1 n 2

1

n 2







Do đú dóy 

u

n

 giảm.Ta cú    

n

: u

1

0,

*

 









Ngoài ra,   nờu dóy 

u

n

 bị chặn dưới. Vậy dóy 

u

n

 cú giới hạn.Dạng 4: Tớnh tổng của cấp số nhõn lựi vụ hạn

S

,| q | 1

u

1



1 q



Phương phỏp giải: Sử dụng cụng thức:

1

1

1

S 1

...

....

 









Vớ dụ: Tớnh tổng

²

ⁿ

2 2

2

u

1

1

S

2







1 q

1

1

q

1

1

 

2

và

^u

¹

^

¹

. Vậy: Đõy là tổng của một cấp số nhõn lựi vụ hạn, với Dạng 5: Tỡm giới hạn vụ cựcPhương phỏp giải: Sử dụng quy tắc tỡm giới hạn vụ cực

3

2n

4n 3







lim

3n

1

Vớ dụ: Tỡm:



Cỏch 1:

4

3

2n

4n 3

2

n

n

 



3

2

3

lim

lim







3n

1

n n

4

3

3

1









lim

2

2 0,lim

0

 











0

n









Lại cú

²

³

²

n



n



  

nờn suy ra:









và

3



^*





 

Cỏch 2:

4

3

4

3



 







 





n

2

2









3

2

3

2

3

2n

4n 3

n

n

n

n











lim

lim

lim n.









3n

1

n 3

3































Ta cú:





2

n

n

2

2n

4n 3

2

n

n

 











 





2

3

3

2

3

lim n

;lim

0

lim

lim n.





 







 

1

3

3n

1

1







3

3





Lại cú





Dạng 6: Tỡm giới hạn của hàm sốPhương phỏp giải: Sử dụng cỏc định lớ và quy tắc

lim x.sin

1









x

Vớ dụ 1: Tớnh:

^x

⁰







.

f x

x sin

1

| x |



x



Xột dóy 

x

n

 mà

^x

ⁿ

^{ }

^{0, n}

và

^{lim x}

ⁿ

^

⁰

. Ta cú: 

n



n

n

lim x.sin

1

0







Vỡ

lim | x | 0

n

 

lim f x



n





0.

Do đú

^{x 0}





.Vớ dụ 2: Tớnh:

x

lim



x

²

x 1 x



 



 



 





x

x 1 x

x 1

x

1



²



²

2

²

2

lim

x

x 1 x

lim

lim

lim



 









1

1

2

x

x

x

x

x

x 1 x

x

x 1 x

1

1

 

 

 

 



 



 







x

x

Vớ dụ 3: Tớnh:

x

lim



x

²

3x 1 x



  



 

3x 1

x

x

3



 













²



2

2

lim

x

3x 1 x

lim

lim

lim

3

1

2

x

3x 1 x

x

3x 1

1

1

1

  

  

  

  









(Chỳ ý: khi

^x

^{  }

là ta xột x < 0, nờn

^x

^

^x

²

) (Hoặc bằng L)Dạng 7: Chứng minh  





x

lim f x

x

0

0

Phương phỏp giải: Sử dụng định lớ giới hạn kẹpGiả sử J là một khoảng chứa

^x

⁰

và f, g, h là ba hàm số xỏc định trờn tập hợp

J \ x



0

. Khi đú:

x J \ x : g x

f x

h x

       

 





lim f x

L







lim g x

lim h x

L

^

     









0

0

x sin x

x

4

1 x

 



2

2

2

2

x sin x

x

x

x

| f x |

f x





 





4

4

4

4

1 x

1 x

1 x

1 x









Ta luụn cú:    

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x sin x

lim

lim

0; lim

lim

0

lim

lim

0

lim

0

4

4

4

4

4

1 x

1

1 x

1

1 x

1 x

1 x

x

x

x

x

x

x

x















 



 



  



  

 

 



  

 

 



4

4

Dạng 8: Tỡm giới hạn một bờnPhương phỏp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bờn

x

x

1



 

với





f x

2x

3

x

1





với

. Tỡm

_x

^{lim f x}

₁

 Vớ dụ 1: Cho hàm số

 













Ta cú:

^

^

  (1)

x

lim f x

1

x

lim 2x

1

3

2. 1

3

1







²



 

²

 

 





(2)









 

x

lim f x

1

x

lim x

1

1

Từ (1) và (2) suy ra  

x

lim f x

1

1

 



1

x 1





khi



 

f x

x 1









x 1



 

Vớ dụ 2: Cho hàm số

lim f x

a. Tỡm  

x

2

b. Tỡm

^{lim f x}

_{x 1}

 

lim f x

lim

x 1 3

a.  

x

2

x

2









b.  

lim f x

x 1

1

1

1

1















lim f x

lim

; lim f x

lim

lim f x

lim f x

Ta cú:        

1 x

2

1 x

2

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

x 1

















suy ra













khụng tồn tại  (Chỳ ý:  ) thỡ  

x

lim f x

x

x

lim f x

x

L







tồn tại khi và chỉ khi    

x

lim f x

x

0

L

x

lim f x

x

0

Dạng 9: Tỡm giới hạn vụ cựcPhương phỏp: Sử dụng quy tắc tỡm giới hạn vụ cựcVớ dụ: Tớnh

^x

^{lim 4x}

^{  }

²

^

¹

lim 4x

1

lim x 4

lim | x | . 4















x

x

x

  

  

  





lim 4

1

2 0

lim 4x

1

x

2

x

Vỡ

^x

^{lim | x |}

^{  }

^

và

  



  

  





Dạng 10: Khử dạng vụ địnhPhương phỏp giải

lim

P x

Q x



, với    