(3,5 ĐIỂM)CHO TAM GIÁC NHỌN ABC CÓ AB AC , CÁC ĐƯỜNG CAO BD CE...

Bài 5. (3,5 điểm)Cho tam giác nhọn ABC có AB AC , các đường cao BD CE D AC E AB^,



 ^, 



cắt nhau tại H.a) Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp.b) Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn đường kính AHcắt AM tại điểm G( G khác A).Chứng minh rằng AE AB. AG AM. .c) Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng _{MAC GCM}^ _^ và đườngthẳng nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ^{MBE MC, D}song song với đường thẳng KG.Lời giảia) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.Xét tứ giác BEDC có:  90

^o

BDC (BD là đường cao)BEC (CE là đường cao)  90

^o

   , mà hai góc này kề nhau cùng nhìn đoạn BC một góc bằng 90

^o

.BDC BEC BEDC là tứ giác nội tiếp.b) Chứng minh AE AB. AG AM. .Xét tứ giác AEHD có: AEHADH (gt)   90

^o

90

^o

180

^o

AEH ADH     , mà hai góc này ở vị trí đối nhau. AEHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH.  AGEADE (góc nội tiếp cùng chắn ^_AE)

 

¹Ta có: tứ giác BEDC nội tiếp (cma) _{ EBC}^ _^_ADE (góc ngoài của tứ giác nội tiếp)

 

²Từ

 

¹ ,

 

²  ^AGE EBC^ hay ^_AGE^_ABMXét AGE và ABMcó:A chung AGE ABM (cmt)AGE ABM   (g - g)AG AB. .AE AB AG AM    (đpcm)AE AMc)Xét đường tròn đường kính AH có: ^_AGD^_AED (góc nội tiếp cùng chắn ^_AD) Mà ^_AEDDCB^ (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác BEDC)  AGD ACB DCM  Lại có: _AGD^ _DGM^ _180

^o

(kề bù)_{ DGM}^ _^_DCM180

^o

,mà hai góc này ở vị trí đối nhauGDCM là tứ giác nội tiếp MGC MDC  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

 

¹Lại có: 1DM2BCMC (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) MCD cân tại M.MDC MCD  (hai góc ở đáy của tam giác cân)

 

²Từ

 

¹ ,

 

² _{ MGC}^ _MCD^ hay _{ MGC}^ _^_MCAXét GCM và CAMcó:AMC chungMGCMCA (cmt)GCM CAM   (g- g)MAC GCM  (hai góc tương ứng) (đpcm)Ta có: ^_AGE^_ABM (cmb) hay ^_{AGE EBM}^Mà: ^_AGE^_EGM180

^o

(kề bù)_{ EBM}^ _^_EGM180

^o

,mà hai góc này ở vị trí đối nhauEBGM là tứ giác nội tiếp



^**



Ta có hai tứ giác EBGM GDCM, là các tứ giác nội tiếp^ Đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếphai tam giác ^{MBE MCD,} là đường nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác ^{EBGM GDCM,} .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EBGM, J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác GDCMMà giao của hai tứ giác ^{EBGM GDCM,} là GM 

 

^*IJ GMGọi

 

^{F AHBC} AFBC AFB^ 90

^o

Xét tứ giác ADFB có: _AFB^ _BDA^ _90

^o

, mà hai góc này ở vị trí kề nhau ADFB là tứ giác nội tiếp.  (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

 

³BAC DFMMà ^_EDHEAH^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

 

⁴DM2BCBM (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông) MBD cân tại M.BDM DBM  hay _ ^_HDMDBM^Mà _DBM^ _HAD^ (cùng phụ với ^_ACB) 

 

⁵HDM HADTừ

 

³ ,

 

⁴ ,

 

⁵  EDM^ EDH^ ^HDMEAH^ ^HADBAC^ DFM^ KDM^Xét FDM và DKM có: KMD chung; DFMKDM (Cmt)MD FM   MD FM KM   (g - g)

²

.FDM DKMDKM MCó: GCMCAM (cmt) MC GM

²

.MC MG MAAM MCMà MDMC (cmt) . . FM MAFM KM MG MAGM MKFGM AKM   (c-g-c)_ ^_FGMAKM^ (hai góc ương ứng)AGFK là tứ giác nội tiếp ( tứ giác có goc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện).AFK AGK   (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK)KG AG  hay KGGM



^**



Từ

 

^* ,



^**



^{ IJ // KG} Vậy đường tròn nối tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MBE MCD, song song với KG.