2 X 23 7   2VÌ X 2  NÊN CHỈ NHẬN X = 5.200B/ MUỐN CÓ MỘT VEC...

1.2 x 2

3 7

   

2



Vì ^{x 2 } nên chỉ nhận x = 5.

200b/ Muốn có một vectơ, ta phải lấy 2 điểm trong n điểm xếp theo một thứ tự, một điểm là gốc, một

điểm là ngọn. Vậy số vectơ là số chỉnh hợp n chập 2.

 

2 n n! (n 2)!(n 1)n

A n(n 1)

   

(n 2)! (n 2)!

201c/ ^{A p n}  n(n 1)(n 2) ... (n p 1)     = tích số của P số nguyên giảm dần từ n.

3 n

A n(n 1)(n 2) (n 3)(n 4)n(n 1)(n 2)

       

n(n 1)(n 2) ...(n p 1)

    

p 5

 

202d/ Muốn vẽ một đường thẳng ta phải lấy 2 điểm trong 10 điểm đó rồi nối lại với nhau (không cần

thứ tự vì đường thẳng AB cũng giống đường thẳng BA). Vậy số đường thẳng là:

10 2 10.9

C 45

 1.2 

203a/ Số đường chéo bằng số đường thẳng qua 12 đỉnh trừ đi số cạnh:

C 12 12! 12 54

12 2

   

2! (12 2)!

 .

204b/ Muốn có 1 giao điểm, ta phải lấy hai đường thẳng trong số 20 đường thẳng rồi tìm điểm chung.

Vậy số giao điểm là:

2 20 20! 18!19.20

C 190

  

2!(20 2)! 2!18!



205c/ Muốn có một tam giác, phải lấy 3 điểm trong 10 điểm, rồi nối lại với nhau. Số tam giác là:

10 3 10! 7!8.9.10

C 120

3!(10 3)! 3!7!

206d/ Các hệ số trong phép khai triển (a + b)

là:

0 1 2 n

C , C , C , ... , C

n n n n

Từ 1 đến n có n số hạng.

Từ 0 đến n có n + 1 số hạng.

207a/ Ta có ^{(1 x)  n  C 0 n  C x C x 1 n  2 2 n  ... C x  n n n}

Thay x = 2, sẽ: ^{3 n  C 0 n  2C 1 n  4C 2 n  ... 2 C  n n n}

208b/ ^{(1 x )}  ^{2 4}  (1 X) với X  ⁴  x ²

0 1 2 3 3 4 4

C C X C C X C X

    

4 4 4 4 4

0 1 2 4 3 6 4 8

C C X C X C x C x

    

209c/ ^{(x 2y )}  ^{2 4}  (a b) với a x, b  ⁴   2y ²

4 3 2 2 3 4

a 4a b 6a b 4ab b

4 3 2 2 4 6 8

x 8x y 24x y 32xy 16y

    

Số hạng có chứa ^{y là 32xy 6  6}

210d/ Các loại 3 bi đỏ hai màu là:

2 xanh 1 đỏ: Số cách lấy ^{C .C 2 5 1 3}

1 xanh 2 đỏ: Số cách lấy ^{C .C 1 5 2 3}

Số cách lấy 3 bi đỏ hai màu: ^{C .C 2 5 1 3}  ^{C .C 1 5 2 3}  10 3 5 3 45    

211a/ Có 2 cách giải:

Cách giải 1:

Số cách mua 3 vé trong 7 vé là: ^{C 3 7}

Số cách mua 3 vé không trúng trong 4 vé không trúng là: ^{C 3 4}

Số cách mua ít nhất 1 vé trúng là: ^{C 3 7  C 3 4  35 4 31  }

Cách giải 2:

Các loại 3 vé có ít nhất một vé trúng thưởng là:

3 trúng 0 trật: Số cách mua là ^{C 3 3}

2 trúng 1 trật: Số cách mua là ^{C .C 2 3 1 4}

1 trúng 2 trật: Số cách mua là ^{C .C 1 3 2 4}

Vậy số cách mua ít nhất 1 vé trúng là: ^{C 3 3}  ^{C .C 2 3 1 4}  ^{C .C 1 3 2 4}   1 3.4 3.6 31  

212b/ Các loại ban đại diện có ít nhất 2 trai là:

2 trai 1 gái: Số ban đại diện: ^{C .C 2 4 1 3}

3 trai 0 gái: Số ban đại diện: ^{C 3 4}

Vậy ^{C .C 2 4 1 4  C 3 4  6.3 4 22  }

213c/ Số cách mua 3 vé có 2 vé trúng bằng số cách mua 2 vé trúng và 1 vé trật, vậy là:

2 1

C .C  3.4 12 

3 4

214d/ 4! cách xếp các sách Toán, 3! cách xếp các sách Vật lý, 2! cách xếp các sách Sinh vật. Có 3 loại

sách, số cách xếp các loại này là 3!.

Vậy số cách xếp đặt là: 4! 3! 2! 3!

c b’

215a/ Có 2! cách xếp chỗ cho a, a’

Có 2! cách xếp chỗ cho b, b’

Có 2! cách xếp chỗ cho c, c’

c’ b

Có 3 cặp vợ chồng vì xếp trên vòng tròn

nên số cách xếp đặt 3 cặp này là: (3 – 1)! = 2!

Vậy số cách xếp đặt là: 2! 2! 2! 2!

a a’

216b/ Gọi x là số kẹo của em thì số kẹo của anh là x + 1

Ta có: (x + 1) + x = 7  x = 3

Ta phải chia 7 cái kẹo làm 2 toán. Một toán có 4 kẹo, một toán có 3 kẹo. Ta chỉ chia 7 cái kẹo

làm 2 toán. Một toán có 4 kẹo, một toán có 3 kẹo. Ta chỉ cần lấy 4 kẹo từ 7 cái kẹo cho người

anh (số kẹo còn lại đương nhiên thuộc người em). Vậy số cách chia là: ^{C . 4 7}

x N x 3

 

 

      

3 x 2

A C 14x (1) ĐK x 3

x x

x 2 0 x N

 

  

217c/



x! x!

(1) 14x

  

(x 3)! (x 2)!(x x 2)!

   

(x 3)!(x 2)(x 1)x (n 2)!(x 1)x 14x

    

(x 3)! (x 2)!2!

2(x 2)(x 1) x 1 28 2x 5x 25 0

         

x 5

 

   

225 x 5 (loại)

 

Vậy nghiệm số x = 5.

218d/ Điều kiện 0 k 12   . Vì các số lập thành một cấp số cộng, nên ta có:

k 1 k k 2 2

2C

 C  C

 k  12k 32 0  

14 14 14

k 4

    thoả điều kiện 0 k 12,   nên nhận.

k 8

219a/ Chọn 3 bì thư trong 6 bì thư, số cách chọn: ^{C 3 6  20}

Chọn 3 tem thư trong 5 tem thư, số cách chọn: ^{C 3 5  10}

Dán 3 tem đã chọn lên 3 bì thư ấy, số cách dán: p ³  3! 6 

Theo quy tắc nhân, số cách là: 20 10 6 1200    .

12

1 1 1 1 1 1

0 12 1 11 1 11 2 10 k 12 k 12

x C x C x . C x . C x . ... C x . ... C .

 

        

12 12 12 12 2 12 k 12 12

 

x x x x x x

220b/ Khai triển:

 

C x . 1 C x

k 12 k k 12 2k



12 k 12

x

Số hạng thứ (k + 1) trong khai triển đó là:

Số hạng này không phụ thuộc x khi 12 – 2k = 0  k = 6.

Vậy số hạng thứ 7 của khai triển không phụ thuộc vào x và có giá trị ^{C 6 12  924}

221c/ Ta có: * ^{T k 1}

 ^{C a k n k k n}

b ,k 0, 1, 2, 3, ..., n 

n 12,a 1 , b x

  x 

* Với

ta có: ^{T k 1}

^{ C . k 12 }  ¹ _x ^  ^{12 k}

^{. x}   ^{k  C x k 12}

¹²

^{3 2 k}

12 3 k 0 k 8

  2   

* Điều kiện cần và đủ để số hạng trong khai triển không chứa ẩn x là:

9 8 12 12!

T C 495

  8!4! 

*

là số hạng thứ 9 trong khai triển không chứa ẩn x.

222d/ Ta có: ^{(1 x)}  ⁿ  ^{C 0 n}  ^{C x C x 1 n}  ^{2 2 n}  ... ( 1) C x   ^{n n n n}

Cho x = 2, ta có: ^{( 1)}  ⁿ   ^{1 2C 1 n}  ^{2 C 2 2 n}  ^{2 C 3 3 n}  ... ( 1) 2 C   ^{n n n n}

Do đó: ^{S 1 2C}   ^{1 n}  ^{2 C 2 2 n}  ^{2 C 3 3 n}  ... ( 1) 2 C   ^{n n n n}   ( 1) ⁿ

223a/ Hai đội cầu của 2 nước tham dự bất kỳ sẽ có một trận đấu.

2 4 4!

C 6

 

2!(4 2)!

Vậy số trận đấu là số tổ hợp 4 lấy 2:

224b/ Chỉ có 1 cách duy nhất chọn 3 trái cầu đen

Trái cầu trắng còn lại có thể được lựa chọn trong 7 trái cầu trắng: ^{C 1 7  7}

Vậy nếu lấy ngẫu nhiên 4 trái cầu, số cách chọn được 3 rái cầu đen và 1 trái cầu trắng là 7.

225c/ Để sắp xếp 7 môn học cho 7 ngày, số cách sắp xếp là hoán vị của 7 phần tử khác nhau

P 7  7!

226a/ Có 3 môn: Đại số, Hình học và Giải tích. Các cách sắp xếp khác nhau 3 giáo viên cho 3 môn học

này có thể được coi là một chỉnh hợp ^{A 3 3} hay một hoán vị P

:

P 3  3! 1.2.3 6  

227d/ Giản đồ trên trình bày các cách xếp đặt thứ tự của 2 phần tử trong số 4 phần tử.

228b/ Sự sắp xếp thứ tự 3 cô con gái trong số 7 cô để lần lượt lo các công tác đi chợ, nấu ăn và rửa chén

là một chỉnh hợp 7 lấy 3.

Số cách chọn 3 cô gái đó là: ^{A 3 7  7.6.5 210. }

229c/ 30 thực khách bắt tay nhau trước khi ra về. Cứ mỗi nhóm 2 người bắt tay nhau một lần.

Vậy số lần bắt tay chính là số tổ hợp 30 lấy 2:

30! 29.30

2 30

C 29.15 435

   

2!28! 2

230d/ Nếu đã chọn lựa 5 câu, thí sinh đó còn phải lựa chọn một nhóm 15 câu trong số 25 câu trắc

nghiệm còn lại. Số cách lựa chọn những câu đó là ^{C . 15 25}

231a/ Để có số abc người ta phải lần lượt chọn các số hàng trăm, chục và đơn vị. Vì 200 < abc < 600.

Chỉ có 2 cách lựa chọn số hàng trăm là 2 và 4.

Phần còn lại: có 4 cách lựa chọn số hàng chục: 2, 4, 6, 8, có 4 cách lựa chọn số hàng đơn vị: 2, 4, 6,