2 X 2   2VÌ X 2 NÊN CHỈ NHẬN X = 5.200B/ MUỐN CÓ MỘT VECTƠ,...

1.2

x

2









2



Vì

^{x 2}

^

nên chỉ nhận x = 5.200b/ Muốn có một vectơ, ta phải lấy 2 điểm trong n điểm xếp theo một thứ tự, một điểm là gốc, một điểm là ngọn. Vậy số vectơ là số chỉnh hợp n chập 2.





2

n

n!

(n 2)!(n 1)n

A

n(n 1)









(n 2)!

(n 2)!

201c/

^A

^p

ⁿ



n(n 1)(n 2) ... (n p 1)









= tích số của P số nguyên giảm dần từn.

3

n

A

n(n 1)(n 2)

(n 3)(n 4)n(n 1)(n 2)

















n(n 1)(n 2) ...(n p 1)











p 5





202d/ Muốn vẽ một đường thẳng ta phải lấy 2 điểm trong 10 điểm đó rồi nối lại với nhau (không cần thứ tự vì đường thẳng AB cũng giống đường thẳng BA). Vậy số đường thẳng là:

2

10

10.9

C

45



1.2



203a/ Số đường chéo bằng số đường thẳng qua 12 đỉnh trừ đi số cạnh:

2

12

12!

C

12

12 54









2! (12 2)!



.204b/ Muốn có 1 giao điểm, ta phải lấy hai đường thẳng trong số 20 đường thẳng rồi tìm điểm chung. Vậy số giao điểm là:

2

20

20!

18!19.20

C

190







2!(20 2)!

2!18!



205c/ Muốn có một tam giác, phải lấy 3 điểm trong 10 điểm, rồi nối lại với nhau. Số tam giác là:

3

10

10!

7!8.9.10

C

120

3!(10 3)!

3!7!

206d/ Các hệ số trong phép khai triển (a + b)

ⁿ

là:

0

1

2

n

C , C , C , ... , C

n

n

n

n

Từ 1 đến n có n số hạng.Từ 0 đến n có n + 1 số hạng.207a/ Ta có

^{(1 x)}

^

ⁿ

^

^C

⁰

ⁿ

^

^{C x C x}

¹

ⁿ

^

^{2 2}

ⁿ

^

^{... C x}

^

^{n n}

ⁿ

Thay x = 2, sẽ:

³

ⁿ

^

^C

⁰

ⁿ

^

^2C

¹

ⁿ

^

^4C

²

ⁿ

^

^{... 2 C}

^

ⁿ

ⁿ

ⁿ

208b/

^{(1 x )}



^{2 4}



(1 X) với X



⁴



x

²

0

1

2

3

3

4

4

C

C X C

C X

C X











4

4

4

4

4

0

1

2

4

3 6

4 8

C

C X C X

C x

C x











209c/

^{(x 2y )}



^{2 4}



(a b) với a x, b



⁴





2y

²

4

3

2 2

3

4

a

4a b 6a b

4ab

b

4

3 2

2 4

6

8

x

8x y

24x y

32xy

16y











Số hạng có chứa

^{y là 32xy}

⁶

^

⁶

210d/ Các loại 3 bi đỏ hai màu là: 2 xanh 1 đỏ: Số cách lấy

^{C .C}

²

⁵

¹

³

1 xanh 2 đỏ: Số cách lấy

^{C .C}

¹

⁵

²

³

Số cách lấy 3 bi đỏ hai màu:

^{C .C}

²

⁵

¹

³



^{C .C}

¹

⁵

²

³



10 3 5 3 45

   

211a/ Có 2 cách giải: Cách giải 1: Số cách mua 3 vé trong 7 vé là:

^C

³

⁷

Số cách mua 3 vé không trúng trong 4 vé không trúng là:

^C

³

⁴

Số cách mua ít nhất 1 vé trúng là:

^C

³

⁷

^

^C

³

⁴

^

^{35 4 31}

^

^

Cách giải 2: Các loại 3 vé có ít nhất một vé trúng thưởng là: 3 trúng 0 trật: Số cách mua là

^C

³

³

2 trúng 1 trật: Số cách mua là

^{C .C}

²

³

¹

⁴

1 trúng 2 trật: Số cách mua là

^{C .C}

¹

³

²

⁴

Vậy số cách mua ít nhất 1 vé trúng là:

^C

³

³



^{C .C}

²

³

¹

⁴



^{C .C}

¹

³

²

⁴

 

1 3.4 3.6 31





212b/ Các loại ban đại diện có ít nhất 2 trai là: 2 trai 1 gái: Số ban đại diện:

^{C .C}

²

⁴

¹

³

3 trai 0 gái: Số ban đại diện:

^C

³

⁴

Vậy

^{C .C}

²

⁴

¹

⁴

^

^C

³

⁴

^

^{6.3 4 22}

^

^

213c/ Số cách mua 3 vé có 2 vé trúng bằng số cách mua 2 vé trúng và 1 vé trật, vậy là:

2

1

C .C



3.4 12



3

4

214d/ 4! cách xếp các sách Toán, 3! cách xếp các sách Vật lý, 2! cách xếp các sách Sinh vật. Có 3 loại sách, số cách xếp các loại này là 3!.Vậy số cách xếp đặt là: 4! 3! 2! 3!

c

b’

215a/ Có 2! cách xếp chỗ cho a, a’Có 2! cách xếp chỗ cho b, b’

c’

b

Có 2! cách xếp chỗ cho c, c’

a

a’

Có 3 cặp vợ chồng vì xếp trên vòng tròn nên số cách xếp đặt 3 cặp này là: (3 – 1)! = 2!Vậy số cách xếp đặt là: 2! 2! 2! 2!216b/ Gọi x là số kẹo của em thì số kẹo của anh là x + 1 Ta có: (x + 1) + x = 7  x = 3Ta phải chia 7 cái kẹo làm 2 toán. Một toán có 4 kẹo, một toán có 3 kẹo. Ta chỉ chia 7 cái kẹo làm 2 toán. Một toán có 4 kẹo, một toán có 3 kẹo. Ta chỉ cần lấy 4 kẹo từ 7 cái kẹo cho người anh (số kẹo còn lại đương nhiên thuộc người em). Vậy số cách chia là:

^{C .}

⁴

⁷

x N

x 3























3

x 2

A

C

14x

(1) ĐK x 3

x

x

x 2 0

x N





  

217c/



x!

x!

(1)

14x







(x 3)! (x 2)!(x x 2)!









(x 3)!(x 2)(x 1)x (n 2)!(x 1)x

14x











(x 3)!

(x 2)!2!

2(x 2)(x 1) x 1 28

2x

5x 25 0







 











x 5





225

x

5

(loại)

 









Vậy nghiệm số x = 5.218d/ Điều kiện

^{0 k 12}

^{ }

. Vì các số lập thành một cấp số cộng, nên ta có:

k 1

k

k 2

2

2C

^



C



C

^



k



12k 32 0





14

14

14

k 4

 





thoả điều kiện

^{0 k 12,}

^{ }

nên nhận.

k 8

219a/ Chọn 3 bì thư trong 6 bì thư, số cách chọn:

^C

³

⁶

^

²⁰

Chọn 3 tem thư trong 5 tem thư, số cách chọn:

^C

³

⁵

^

¹⁰

Dán 3 tem đã chọn lên 3 bì thư ấy, số cách dán:

^p

³

^

^{3! 6}

^

Theo quy tắc nhân, số cách là:

20 10 6 1200



 

.

12

1

1

1

1

1

1

0

12

1

11

1

11

2

10

k

12 k

12

x

C x

C x .

C x .

C x .

... C x

.

... C .





























12

12

12

12

2

12

k

12

12

x

x

x

x

x

x

220b/ Khai triển:





C x

.

1

C x

k

12 k

k

12 2k



12

k

12

x

Số hạng thứ (k + 1) trong khai triển đó là: Số hạng này không phụ thuộc x khi 12 – 2k = 0  k = 6.Vậy số hạng thứ 7 của khai triển không phụ thuộc vào x và có giá trị

^C

⁶

¹²

^

⁹²⁴

221c/ Ta có: *

^T

^{k 1}

_



^{C a}

^{k n k k}

ⁿ

^

b ,k 0, 1, 2, 3, ..., n



n 12,a

1

, b

x

* Với





x



ta có:

^T

^{k 1}

^

^

^{C .}

^k

¹²

^



¹

_x

^



^{12 k}

^

^{. x}

 

^k

^

^{C x}

^k

¹²

^

¹²

^

³

²

^k

12

3

k 0

k 8





2

 



* Điều kiện cần và đủ để số hạng trong khai triển không chứa ẩn x là:

T

C

12!

495

9

8

12





8!4!



* là số hạng thứ 9 trong khai triển không chứa ẩn x.222d/ Ta có:

^{(1 x)}



ⁿ



^C

⁰

ⁿ



^{C x C x}

¹

ⁿ



^{2 2}

ⁿ



... ( 1) C x

 

ⁿ

^{n n}

ⁿ

Cho x = 2, ta có:

^{( 1)}



ⁿ

 

^{1 2C}

¹

ⁿ



^{2 C}

²

²

ⁿ



^{2 C}

³

³

ⁿ



... ( 1) 2 C

 

^{n n}

ⁿ

ⁿ

Do đó:

^{S 1 2C}

 

¹

ⁿ



^{2 C}

²

²

ⁿ



^{2 C}

³

³

ⁿ



... ( 1) 2 C

 

^{n n}

ⁿ

ⁿ

 

( 1)

ⁿ

223a/ Hai đội cầu của 2 nước tham dự bất kỳ sẽ có một trận đấu.

2

4

4!

C

6





2!(4 2)!

Vậy số trận đấu là số tổ hợp 4 lấy 2: 224b/ Chỉ có 1 cách duy nhất chọn 3 trái cầu đen Trái cầu trắng còn lại có thể được lựa chọn trong 7 trái cầu trắng:

^C

¹

⁷

^

⁷

Vậy nếu lấy ngẫu nhiên 4 trái cầu, số cách chọn được 3 rái cầu đen và 1 trái cầu trắng là 7.225c/ Để sắp xếp 7 môn học cho 7 ngày, số cách sắp xếp là hoán vị của 7 phần tử khác nhau

P

7



7!

226a/ Có 3 môn: Đại số, Hình học và Giải tích. Các cách sắp xếp khác nhau 3 giáo viên cho3 môn học này có thể được coi là một chỉnh hợp

^A

³

³

hay một hoán vị P

3

:

P

3



3! 1.2.3 6





227d/ Giản đồ trên trình bày các cách xếp đặt thứ tự của 2 phần tử trong số 4 phần tử.228b/ Sự sắp xếp thứ tự 3 cô con gái trong số 7 cô để lần lượt lo các công tác đi chợ, nấu ăn và rửa chén là một chỉnh hợp 7 lấy 3.Số cách chọn 3 cô gái đó là:

^A

³

⁷

^

^{7.6.5 210.}

^

229c/ 30 thực khách bắt tay nhau trước khi ra về. Cứ mỗi nhóm 2 người bắt tay nhau một lần.Vậy số lần bắt tay chính là số tổ hợp 30 lấy 2:

30!

29.30

2

30

C

29.15 435









2!28!

2

230d/ Nếu đã chọn lựa 5 câu, thí sinh đó còn phải lựa chọn một nhóm 15 câu trong số 25 câu trắc nghiệm còn lại. Số cách lựa chọn những câu đó là

^{C .}

¹⁵

²⁵

231a/ Để có số abc người ta phải lần lượt chọn các số hàng trăm, chục và đơn vị. Vì 200 < abc < 600.Chỉ có 2 cách lựa chọn số hàng trăm là 2 và 4.Phần còn lại: có 4 cách lựa chọn số hàng chục: 2, 4, 6, 8, có 4 cách lựa chọn số hàng đơn vị: 2,