C 105  .4!3! 4.2.3ABI3DI1 CI2234D/ ĐỂ 3 CON NGỰA MANG SỐ 1,...

3.C

3.

3.

105







.

4!3!

4.2.3

A

B

I3

D

I1

C

I2

234d/ Để 3 con ngựa mang số 1, 2, 3 luôn luôn trong 3 hạng đầu. Số cách xếp là P

3

= 3!Để 4 ngựa còn lại luôn luôn trong các hạng từ 4 đến 7, số cách xếp là P

4

= 4!Vậy số cách sắp xếp chung cho 7 con ngựa đua với ba con 1, 2, 3 luôn luôn ở 3 hạng đầu là 3! 4!235a/ Vì 5 ghế ngồi giống nhau, người thứ nhất có thể chọn một ghế bất kỳ. Bốn người còn lại có thể đổi chỗ lẫn nhau trong 4 ghế. Số cách xếp là p

4

= 4!236b/ Vì ba cô được chọn cùng một lúc không cần thứ tự. Số cách chọn 3 cô gái trong 7 cô là số tổ hợp 7 lấy 3.

3

7

7!

5.6.7

C

35

3! 4!

1.2.3

237c/

^A

^r

ⁿ

^

^A

^{n r}

ⁿ

^

n(n 1)... (n r 1) n(n 1) ...(n n r 1)















 

n r 1 r 1

n 2r





  





(không cần điều kiện n là số nguyên chẵn, vì r là số nguyên, chắc chắn n = 2r là số nguyên chẵn).238d/ Tập hợp {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} có 10 phần tử. Với số có dạng

^abc

Số các con số này chính là số chỉnh hợp 9 lấy 3 trong tập hợp các số khác 0.Với số có dạng

a0b hay ab0

: chỉ còn sự sắp xếp thứ tự hai số a và b.Số các con số này bằng

^A

²

⁹

Vậy số các con số đó là:

^A

³

⁹

^

^2A

²

⁹

.239a/ Vì cách sắp xếp 3 người cần giữ theo một thứ tự, nên mỗi cách sắp xếp là một chỉnh hợp6 lấy 3. Số cách sắp xếp này là

^A

⁶

³

.240b/ Số lựa chọn theo thứ tự 2 người đàn ông để làm trưởng phái đoàn và phó là một chỉnh hợp. Số cách lựa chọn này là

^A

²

⁸⁰

Với 2 nữ thư ký, không cần giữ thứ tự, số cách lựa chọn là số tổ hợp

^{C .}

⁶⁰

²

Sau khi đã chọn 2 ông trưởng và phó, hai nữ thư ký, tổng số đoàn viên còn lại là 136.Số cách lựa chọn 3 đoàn viên là

^C

¹³⁶

³

.Vậy số trường hợp có thể lựa chọn là

^{A .C .C}

²

⁸⁰

²

⁶⁰

¹³⁶

³

.241c/ Tập hợp

^E

²

  

{(x, y) / x E và y E với x y}







Như vậy các phần tử của tập hợp này là một chỉnh hợp 5 lấy 2.242d/ Khi cho sẵn 6 số, số N được thành lập bằng cách hoán vị 6 số đó.Số các con số đó là P

6

= 6!Vì có 2 con số 1 giống nhau, hoán vị giữa 2 số này không thay đổi số N. Do đó có P

2

= 2!, số N

6!

3!2!1!

.giống nhau. Tương tự với các con số 2 và 3. Vậy số các con số N tìm được là: 243a/ Số cách chọn 2 trái cầu xanh trong 10 trái cầu xanh là:

^C

²

¹⁰

Số cách chọn 3 trái cầu đỏ trong 6 trái cầu đỏ là:

^C

³

⁶

Số cách chọn 1 trái cầu vàng trong 4 trái cầu vàng là:

^C

¹

⁴

Số cách chọn 6 trái cầu với 2 canh, 3 đỏ, 1 vàng là:

^{C .C .C}

²

¹⁰

³

⁶

¹

⁴

244b/ Cách xếp đặt 3 nhóm lực sĩ có P

3

= 3! cáchXếp đặt lực sĩ Việt Nam có P

6

= 6! cách Xếp đặt lực sĩ Campuchia có P

5

= 5! cáchXếp đặt lực sĩ Thái Lan có P

7

= 7! cáchQuy tắc nhân cho: 3! 6! 5! 7! cách xếp đặt.245c/ Muốn có 5g ta có thể chọn: 2 quả cân 2g và 1 quả cân 1g hay 1 quả cân 2g và 3 quả cân 1ghay 5 quả cân 1g.Số cách chọn 2 quả cân 2g trong 4 quả cân 2g:

^C

²

⁴

Số cách chọn 1 quả cân 1g trong 8 quả cân 1g:

^C

¹

⁸

Vậy với cách thứ nhất, số cách chọn là:

^{C .C}

¹

⁴

³

⁸

Với cách chọn thứ hai, số cách chọn là:

^C

⁸

⁵

4!

8!

8!

C .C

C .C

.8 4

328











Quy tắc cộng cho:

²

⁴

¹

⁸

¹

⁴

⁵

⁸

2!2!

3!5! 3!5!

246d/ Số cách chọn 6 tam giác trong 10 tam giác :

^C

⁶

¹⁰

Số cách hoán vị 6 tam giác đã lựa chọn: P

6

Vậy: số cách xếp các tam giác thành hình lục giác là:

^{C .P}

¹⁰

⁶

⁶

247a/ Có 2 cách xếp, 3 nam sinh có thể hoán vị: P

3

= 3!2 nữ sinh có thể hoán vị: P

2

= 2! Số cách xếp : 3! 2!* Ở cách xếp 2 nữ, 3 nam là: 2! 3!Quy tắc cộng cho: 3! 2! + 2! 3! = 3! 2! 2248b/ Với 3 điểm có 1 tam giác. Số cách chọn 3 điểm chính là số tổ hợp

3

10

10!

8.9.10

C

120

3!(10 3)

1.2.3



249c/ Có

^C

²

¹⁰

cách chọn 2 nam giáo viên và

^C

³

⁵

cách chọn 3 nữ giáo viên.Theo quy tắc phép đếm ta có:

^C

²

¹⁰

^

^C

³

⁵

cách chọn250d/ Bác tám mời 5 trong 11 người bạn mà không cần lựa chọn, nên số cách mời là số

5

11

11!

C

462



5!6!



tổ hợp: 251a/ Trường hợp 1: Lần một được 2 bi không đỏ Số cách chọn 2 bi không đỏ:

^C

²

⁷

Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần hai

^C

¹

⁴

. Quy tắc nhân có

^{C .C}

²

⁷

¹

⁴

cách Trường hợp 2: Lần một được 1 bi không đỏ Số cách chọn 1 bi không đỏ trong lần thứ 1:

^C

¹

⁷

Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần 1:

^C

¹

⁴

Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần 2

^C

¹

³

. Quy tắc nhân

^{C C C}

^{1 1 1}

^{7 4 3}

Trường hợp 3: Lần một được 2 bi đỏ Số cách chọn 2 bi đỏ trong lần 1:

^C

²

⁴

Số cách chọn 1 bi đỏ trong lần 2:

^C

¹

²

Quy tắc nhân

^{C C}

^{2 1}

^{4 2}

cách chọnVới cả 3 trường hợp, số cách chọn để có bi đỏ trong lần thứ hai là:

^{C .C}

²

⁷

¹

⁴

^

^{C C C}

^{1 1 1}

^{7 4 3}

^

^{C C}

^{2 1}

^{4 2}

112

2

C

112!

8!

P

:

111

3

8

2!110! 3!5!



C





252b/253c/ k = 7 hay k = 8 vì:

^C

¹⁵

⁷

^

^C

¹⁵

⁸

254d/ Ta có:

^C

^k

ⁿ

^

^C

^{n k}

ⁿ

^

. Nếu

^C

⁸

^p

^

^C

⁹

^p

thì p = 8 + 9 = 17.255a/ 1 17 136 680256b/

^C

⁰

¹²⁰

^

^C

¹²⁰

¹²⁰

^

¹

257c/

^C

^P

⁵²¹

²

^

^C

⁸⁰

⁵²¹

^

^{p 21 (p 0)}

^

^

258d/ p = 11 hay p = 22 vì

^C

^{11 3}

²⁷

^

^

^{C , C}

⁸

²⁷

^{22 3}

²⁷

^

^

^C

¹⁹

²⁷

^

^C

⁸

²⁷

259d/

^C

⁸

¹⁵

^

^C

⁹

¹⁵

^

^C

¹⁶

⁹

260b/ Vì

^C

⁴

⁹

^

^{C , C}

⁵

⁹

⁴

⁹

^

^C

⁶

⁹

^

^C

⁵

⁹

^

^C

⁶

⁹

^

^C

⁶

¹⁰

161c/ Vì

^C

¹⁰

¹⁹

^

^C

¹⁰

¹⁸

^

^C

⁹

¹⁸

^

^C

¹⁸

⁹

^

^C

¹⁰

¹⁹

^

^C

¹⁰

¹⁸

262d/ Cách chọn 3 người đàn ông trong số 12 người đàn ông:

^C

¹²

³

Cách chọn 2 phụ nữ trong số 8 phụ nữ:

^C

²

⁸

3

2

C

C

.

6160







12

8

12!

8!

3! 9! 2!61

Số cách lựa chọn: 263a/

p 1 : 2p 1 3; C



 

¹⁴

⁴



C

¹⁴

³



C

⁴

¹⁵

p = 5 : 2p + 1 = 11;

^C

⁴

¹⁴

^

^C

¹¹

¹⁴

^

^C

⁴

¹⁴

^

^C

¹⁴

³

^

^C

¹⁵

⁴

^

^{p 1}

^{ }

^{p 5}

^

264b/

^{C a}

^{0 4}

⁴



C a b C a b

^{1 3}

⁴



^{2 2 2}

⁴



C ab

³

⁴

³



C b

^{4 4}

⁴

265c/

^C

^p

ⁿ

^

^C

^{p 1}

^{n 1}

^

^

^

^C

^p

^{n 1}

^

266d/ 1 7 21 35 35 21 7 1

6!

5!

4!

C .C .C

.

.

600





267a/

²

⁶

²

⁵

¹

⁴

2!4! 2!3! 1!3!

12!

8!

268b/

¹²

³

²

⁸

3!9! 2!6!

10!

8!

C

C

3360









269c/

¹⁰

³

²

⁸

3!7! 2!6!

6!

5!

C

C

20









270d/

⁴

⁶

⁴

⁵

4!2! 4!1!

241a/ Hệ số của

^{x y}

^{8 3}

là:

^{C ( 1)}

⁸

¹¹

^

³

^{ }

^{1 C}

¹¹

⁸

^

^C

³

¹¹

272b/ Hệ số của

x y là: C 2

^{10 5}

^{10 10}

¹⁵



2 C

¹⁰

⁵

¹⁵

274d/ Số hạng chính giữa của khai thức (3x + 2y)

⁴

là:

2

2

2

2 2

2 2

C (3x) .(2y)



C 6 .x y

4

4

275a/ Vì

^{(1 x)}

^

ⁿ

^

^{C 1}

^{0 n}

ⁿ

^

^{C 1 .x C 1}

^{1 n 1}

ⁿ

^

^

^{2 n 2 2}

ⁿ

^

^x

^

^{... C x}

^

^{n n}

ⁿ

Thay x bằng –1 :

^{(1 1)}

^

ⁿ

^{ }

^{0 C}

⁰

ⁿ

^

^C

¹

ⁿ

^

^C

²

ⁿ

^

^{... ( 1) C}

^{ }

ⁿ

ⁿ

ⁿ

276d/ Tổng số

^C

ⁿ

ⁿ

^

^C

^{n 1}

ⁿ

^

^

^C

^{n 2}

ⁿ

^

^

^{... C}

^

¹

ⁿ

^

^C

⁰

ⁿ

^

^{(1 1)}

^

ⁿ

^

²

ⁿ

Khi n = 4 tổng số trên bằng 2

⁴

= 16Nếu nhân tất cả các số hạng với 256 = 16

²

= 2

⁸

vế thứ hai số là:

n

8

8

8

8

n

2



2



2 .2



4



4

với n = 8277b/

^C

⁰

ⁿ

^

^{C x C x}

¹

ⁿ

^

^{2 2}

ⁿ

^

^{... nC x}

^

^{n n 1}

ⁿ

^

^

^{n(1 x)}

^

^{n 1}

^

Tính đạo hàm của hai vế:

^C

¹

ⁿ



2C x ... nC x

²

ⁿ





^{n n 1}

ⁿ

^



n(1 x)



^{n 1}

^

Cho x = 1 :

^C

¹

ⁿ

^

^2C

²

ⁿ

^

^{... nC}

^

ⁿ

ⁿ

^

ⁿ²

^{n 1}

^

n 1

n!

n!

...

n!

(n!)

vì

n!

1





















2

1!(n 1)! 2!(n 2)!

n!1!

[1!2! ... (n 1)!]

n!1!

278c/











279d/ Trong khai thức Newton, gọi u

i

là số hạng thứ i. So sánh

^u

^{p 1}

^

^{và u}

^p

u

_

cực đại nế u

_



u

p 1

p 1

p

na 1

Suy ra: p bằng phần nguyên của

a 1



hay p bằng



nếu phân số này là số nguyên.

1 na 1







a

,

0

Nếu

n a 1



không có trị số p để

^u

^{p 1}

^

^

^u

^p

Do đó số hạng lớn nhất là u

0

= 1.280c/

^C

⁰

ⁿ



C x C x ... nC x

¹

ⁿ



²

ⁿ





^{n n 1}

ⁿ

^



n(1 x)



^{n 1}

^

(1)

cho x = -1 : (1) 

^

^C

¹

ⁿ

^

^2C

²

ⁿ

^

^{... ( 1) C}

^{ }

^p

^p

ⁿ

^

^{... ( 1)}

^{ }

^{n 1}

^

^nC

ⁿ

ⁿ

^

⁰