CHO ĐIỂM A ( 2;5;1 ) VÀ MẶT PHẲNG ( )

Question

Câu 48.  Cho điểm A ( 2;5;1 ) và mặt phẳng ( ) : 6 P x + 3 y − 2 z + 24 0 = , H là hình chiếu vuông góc của Atrên mặt phẳng ( )P . Phương trình mặt cầu ( ) S có diện tích 784 π và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P  tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là: A.( x − 8 ) (2 + y − 8 ) (2+ + z 1 )2 = 196. B. ( x + 8 ) (2+ y + 8 ) (2+ − z 1 )2 = 196.C. ( x + 16 ) (2+ y + 4 ) (2+ − z 7 )2 = 196. D. ( x − 16 ) (2 + y − 4 ) (2+ + z 7 )2 = 196.Hướng dẫn giải:  = +2 6x t = +d y t: 5 3 Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( ) P . Suy ra   = −1 2z t Vì H là hình chiếu vuông góc của A trên ( )P  nên H d= ∩( )P . Vì H d∈  nên H(2 6 ;5 3 ;1 2+ t + t − t) .  Mặt khác, H ∈ ( ) P nên ta có: 6 2 6( + t) (+3 5 3+ t) (−2 1 2− t)+24 0= ⇔ = −t 1Do đó, H ( − 4;2;3 ) .  Gọi I R,  lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu. Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng 784π , suy ra 4πR2 =784π ⇒ =R 14. Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( ) P tại H nên IH ⊥ ( ) P ⇒ ∈ I d . Do đó tọa độ điểm I  có dạng I(2 6 ;5 3 ;1 2+ t + t − t) , với t ≠ − 1 .  Theo giả thiết, tọa độ điểm I thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) + + + − − + =  = t t t t6 2 6 3 5 3 2 1 2 24 14 1= ( ,( )) 14 6 3 ( 2) 3 1d I P ⇔  + + − ⇔  = − ⇔ =2 2 2tAI t <  14 6 3 2 14 2 2   + + − < − < < Do đó: I(8;8; 1− ) .  Vậy phương trình mặt cầu ( ) : S ( x − 8 ) (2+ y − 8 ) (2+ + z 1 )2 = 196 . Lựa chọn đáp án A.