(4 ĐIỂM) CHO TAM GIÁC NHỌNABCVỚI CÁC ĐƯỜNG ACAO AH BK...

Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọnABCvới các đường

A

cao AH BK, nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao

K

cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F . Chứng minh

O

E

rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O)

B

C

thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường

H

M

thẳng cố định.

F

Giải Ta chứng minh hai tam giác EHK và FHK có diện tích bằng nhau. Ta có MAC MBC1 1 1. .sin . .tan .sin . .cos .tan .cosS

EHK

 KH KE BKH KH KA  BAH  KH AB A  B2 2 2. .sin .tan . .sin .cos .tan . .cosS

FHK

 HF HK FHK  BH HK AHK  AB B HK AS S suy ra E, F cách đều HK mà E,F nằm về hai phía của HK

EHK

FHK

 Trung điểm của EF nằm trên đường thẳng HK.