(4 ĐIỂM) TÌM TẤT CẢ CÁC ĐA THỨC P X( ) HỆ SỐ THỰC THỎA MÃN

Bài 5. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P x( ) hệ số thực thỏa mãn : P x P x( ). (  3) P x(

²

),  x Giải : Ta tìm các đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x –3)=P(x

²

) xR (1)  Trường hợp P(x)  C ( C là hằng số thực ) : P(x)  C thỏa (1)  C

²

= C  C = 0  C = 1 P(x)  0 hay P(x)  1  Trường hợp degP  1 Gọi  là một nghiệm phức tùy ý của P(x) . Từ (1) thay x bằng  ta có P(

²

)=0  x= 

²

cũng là nghiệm của P(x) . Từ đó có  , 

²

, 

⁴

, 

⁸

, 

¹⁶

, …là các nghiệm của P(x) . Mà P(x) chỉ có hữu hạn nghiệm (do đang xét P(x) khác đa thức không)

  



⁰



 



(I)

1

Từ (1) lại thay x bằng  +3 ta có P((+3)

²

)=0  x=(+3)

²

là nghiệm của P(x) Từ x = (+3)

²

là nghiệm của P(x) tương tự phần trên ta có (+3)

²

, (+3)

⁴

, (+3)

⁸

, (+3)

¹⁶

,…là các nghiệm của P(x) . Mà P(x) chỉ có hữu hạn nghiệm

  



   

2

3

0



  





³

⁰





  



(II)

3

1







Như vậy , nếu  là nghiệm của P(x) thì ta có  thỏa hệ

^(I)



(II)

y

I

O

x

Biểu diễn các số phức  thỏa (I) và thỏa (II) trên mặt phẳng phức ta có hệ

^(I)



không có nghiệm   Không tồn tại đa thức hệ số thực P(x) bậc lớn hơn hoặc bằng 1 thỏa (1) Kết luận Các đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x)P(x – 3)=P(x

²

) x gồm P(x)  0 , P(x)  1