(3 ĐIỂM) CHO ĐA THỨC P X  VÀ Q X AP X BP X'  VỚI A B...

Bài 3. (3 điểm) Cho đa thức ^{P x}

 

^{và Q x}

 

^{aP x}

 

^{bP x'}

 

^với

^{a b}

^,

là các số thực và a 0. Chứng minh rằng nếu đa thức ^{Q x}

 

vô nghiệm thì đa thức ^{P x}

 

cũng vô nghiệm. Lời giải Nếu b0 ta có ngay điều phải chứng minh. Ta xét các trường hợp sau đây với b0 . Dễ thấy hai đa thức ^{Q x P x}

   

^, cùng bậc. Mà ^{Q x}

 

vô nghiệm nên hai đa thức ^{Q x P x}

   

^, bậc chẵn. TH1: Nếu ^{P x}

 

có nghiệm bội x x

₀

thì x

₀

cũng là nghiệm của ^{Q x}

 

^{aP x}

 

^{bP x'}

 

(mâu thuẫn với giả thiết). TH2: Nếu ^{P x}

 

có hai nghiệm đơn liền nhau x

0

x

1

thì P x'

   

0

. 'P x

1

0.















'

'

Q x

aP x

bP x

bP x









Mặt khác:

       

'

'

0

Q x Q x

b P x

P x

 

⁰

 

⁰

 

⁰

 

⁰

   

0

1

²

   

0

1



.

1

1

1

1

 

Q x là đa thức nên liên tục trên , do đó theo trên suy ra ^{Q x}

 

có nghiệm x

2





x x

0

,

1



Vậy nếu đa thức ^{Q x}

 

vô nghiệm thì đa thức ^{P x}

 

cũng vô nghiệm. (đpcm)