1/ Π∫0COS4X DX . 2/∫2∫ 4/3 3SIN .COS . X X DX 3/2 4 4SIN X .COS X DX ....

Bài 5 : 1/

^π

∫

₀

^cos

⁴

^{x dx .} 2/

∫

2

∫ ^4/

3 3

sin .cos . x x dx 3/

^{2 4 4}

sin x .cos x dx .

sin dx

x

π

∫ ^.

06

Tuõ̀n: 3 Tiờ́t: 12-13-14

DIậ́N TÍCH HÌNH PHẲNG – THấ̉ TÍCH KHễ́I TRÒN XOAY

I. Mục tiêu.

-Tính đợc diện tích hình phẳng

-Tính đợc thể tích khối tròn xoay quay trục Ox .

II. Nội dung.

Hoa ̣t đụ̣ng của hoc sinh va giáo viờn Nụ̣i dung bai dạy

1/ Dieọn tớch hỡnh phaỳng:

a) Daùng toaựn1: Dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi 1 ủửụứng cong vaứ 3 ủửụứng thaỳng.

Coõng thửực:

Cho haứm soỏ y=f(x) lieõn tuùc treõn ủoaùn [a;b] khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng

b

S = ∫ f x dx

cong (C) :y=f(x) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a; x=b; y= 0 laứ : ( )

a

b) Daùng toaựn2: Dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi 2 ủửụứng cong vaứ 2 ủửụứng thaỳng.

Cho haứm soỏ y=f(x) coự ủoà thũ (C) vaứ y=g(x) coự ủoà thũ (C’) lieõn tuùc treõn ủoaùn [a;b] khi ủoự dieọn

tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (C), (C’) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a; x=b laứ :

( ) ( )

S = ∫ f x − g x dx

Phửụng phaựp giaỷi toaựn:

B1: Laọp phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm giửừa (C) vaứ (C’)

B2: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm:

TH1:

Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm voõ nghieọm trong (a;b). Khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng

caàn tỡm laứ:

^b

^{[ ( ) ( )]}

S = ∫ f x − g x dx

TH2:

Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm coự 1 nghieọm laứ x

1

∈ (a;b). Khi ủoự dieọn tớch hỡnh phaỳng

caàn tỡm laứ:

xb b

1

S = ∫ f x − g x dx = ∫ f x − g x dx + ∫ f x − g x dx

( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

a a x

TH3:

Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm coự caực nghieọm laứ x

1

; x

2

∈ (a;b). Khi ủoự dieọn tớch hỡnh

phaỳng caàn tỡm laứ:

1

1

2

[ ] [ ] [ ]

= ∫

^x_a

− +

_x

∫

^x

− +

^x

∫

_b

−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

S f x g x dx f x g x dx f x g x dx

2

Chuự yự: * Neỏu phửụng trỡnh hoaứnh ủoọ giao ủieồm coự nhieàu hụn 2 nghieọm laứm tửụng tửù trửụứng

hụùp 3.

* Daùng toaựn 1 laứ trửụứng hụùp ủaởc bieọt cuỷa daùng toaựn 2 khi ủửụứng cong g(x)=0

Vớ duù 1ù: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủoà thũ cuỷa haứm soỏ y = sinx treõn ủoaùn [0;2 π _]

vaứ Ox.

Giaỷi:

Ta coự :sinx = 0 coự 1 nghieọm x= ^{π ∈} ( ^{0;2 π} ) vaọy dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm laứ:

π π π2 2

∫ ∫ ∫

= +

sin x dx sin xdx sin xdx = cos x ^π

₀

+ cos x _π

²

^π = 4

S =

Vớ duù 2: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (P

1

): y = x

²

–2 x , vaứ (P

2

) y= x

²

+ 1 vaứ caực

ủửụứng thaỳng x = -1 ; x =2 .

Giaỷi

Pthủgủ : x

²

–2 x = x

²

+ 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2 .

Do ủoự :S=

2 1/ 2 2-2 2 2 2 2 2

( x 2 ) ( x x 1) dx [( x 2 ) ( x x 1)] dx [( x 2 ) ( x x 1)] dx

ũ ũ ũ

- - + = - - + + - - +

1 1 1/ 2- - -1/ 2 2

ũ ũ ^{= (}

²

⁾

¹²1

⁽

²

⁾

²¹

2 x 1 dx 2 x 1 dx

+ + +

= ( ) ( )

4 + 4 = 2 (dvdt)

x + x

^-_-

+ x + x

_-2

= 1 25 13

1 1/ 2- -

Vớ duù 3: Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (P): y

²

= 4 x , vaứ ủửụứng thaỳng (d): 2x+y-4 = 0.

Giaỷi:

− y

y vaứ (d): 2x+y-4 = 0 ⇔ x= 4

Ta coự (P): y

²

= 4 x ⇔ x =

²

.

2

4

y

 =

− ⇔ y 2

y = 4

Phửụng trỡnh tung ủoọ giao ủieồm cuỷa (P) vaứ ủửụứng thaỳng (d) laứ:

²

 = −



Vaọy dieọn tớch hỡnh phaỳng caàn tỡm laứ: S=

2 2 2 2 2 3 2

( 4 ) (2 ) (2 ) 9

y y dy y y dy y y y

₋

− − = − − = − − =

∫ ∫

4 4 4

2 4 2 4 4 12

− −

2/ Theồ tớch cuỷa moọt vaọt theồ troứn xoay

Theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay sinh ra khi hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (C) coự

phửụng trỡnh y= f(x) vaứ caực ủửụứng thaỳng x= a, x=b , y= 0 quay moọt voứng xung quanh truùc ox

laứ:

²

^{( )}

V =Π ∫ f x dx

Vớ duù 1: Tớnh theồ tớch khoỏi caàu sinh ra do quay hỡnh troứn coự taõm O baựn kớnh R quay xung

quanh truùc ox taùo ra.

ẹửụứng troứn taõm O baựn kớnh R coự phửụng trỡnh :x

²

+ y

²

= R

²

⇒ y

²

= R

²

-x

²

R R

R x x

3

2

3

 − 

R x dx

π

π ^   − ^   ⁼

³

∫ − ⁼

²

₃

^{3 R}

2 3

Theồ tớch khoỏi caàu laứ : V=

^R

(

^{2 2}

)

 

3 π R

  ⁼

−R

(ủvtt)

Vớ duù 2: Tớnh theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay, sinh ra bụỷi moói hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi caực

ủửụứng sau khi noự quay xung quanh truùc Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x

²

–2x

2 2 4 3 2

( 2 ) ( 4 4 )

S π x x dx π x x x dx

= ∫ − = ∫ − +

Theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay caàn tỡm laứ :

1 1

π (ủvtt)

x x x

π − +

₋

= 18

= (

^{5 4}

4

³

)

²₁

5

5 3

Baứi taọp ủeà nghũ:

1/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn giửừa ủửụứng cong (P): y= x

²

- 2x vaứ truùc hoaứnh.

2/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi ủửụứng cong (H): y = x + 1

x vaứ caực ủửụứng thaỳng

coự phửụng trỡnh x=1, x=2 vaứ y=0

3/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn giửừa ủửụứng cong (C): y= x

⁴

- 4x

²

+5 vaứ ủửụứng thaỳng

(d): y=5.

4/ Tớnh dieọn tớch hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi (C): y = x

³

–3 x , vaứ y = x .

5/ Tớnh theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay, sinh ra bụỷi moói hỡnh phaỳng giụựi haùn bụỷi caực ủửụứng

sau khi noự quay xung quanh truùc Ox:

π

a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =

b/ y = sin

²

x ; y = 0 ; x = 0 ; x = π

c/ y = xe

₂^x

; y = 0 ; x = 0 ; x = 1

Bài tập thêm về tích phân

−

1

x dx

7 13

1

∫ b,

∫