(3,0 ÑIỂM). CHO TAM GIÁC ABC VUÔNG TẠI A CÓ ÑƯỜNG CAOAD D( ∈BC...

Câu 3 (3,0 ñiểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có ñường cao^{AD D}

(

^∈BC

)

^{. Gọi I} là trung ñiểm của;AC kẻ AH vuông góc với BI tại H.a) Chứng minh tứ giácABDH nội tiếp. Tìm tâm ñường tròn ngoại tiếp tứ giácABDH.b) Chứng minh tam giác BDH ñồng dạng với tam giác BIC.. . . .c) Chứng minh 1AB HD= AH BD= 2AD BHHD:

A

I

H

B

D

C

90 ; 90 .ADB= ° AHB= °a) ^{Ta có} Suy ra H D, cùng nhìn ñoạn AB dưới một góc vuông. Vậy tứ giácABDHnội tiếp ñường trònñường kính AB.ðường tròn ngoại tiếp tứ giácABDHcó tâm là trung ñiểm của AB. b) Xét ∆BDHvà ∆BIC có:HBD=CBI+) DAB=ICB (cùng phụ DHB=DAB(do tứ giác ABDHnội tiếp); DAC). +) Suy ra DHB =ICB.Suy ra ∆BDH ∼ ∆BIC(g.g). HD IC ACc) Theo phần b) ta có .2BH = BC = BCMặt khác áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có AD BC = AB AC hay AC AD.. .BC = ABHD ADDo ñó BH = AB hay ^{. 1 .}

( )

^{1 .}AB HD= 2AD BHTa có ∆AHB∼∆IAB (g.g) nên AH AI .BH = ABAD AC AI.Mặt khác ∆ADB∼∆CAB (g.g) nên 2BD = AB = ABSuy ra 2AH ADAH BD= 2AD BHBH = BD hay ^{. 1 .}

( )

^{2 .}Từ

( )

^{1 và}

( )

^{2 ta có . . 1 . .}AB HD = AH BD= 2AD BH