CHO SỐ PHỨC Z THỎA MÃN Z  1

Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của z   1 z

²

  z 1 . Tính giá trị của biểu thức Mm .

A. 12 21

4

3 D. 13 3

7 C. 7 2

7 B. 15 6

Đáp án D: Đặt z   a bi và t   1 z . Khi đó: ^t

²

^  ^{1  z}    ^{1  z   1 z}

²

^{    z z 2 2 a   a t}

²

₂ ^{ 2 .}

Ta có: ^z

²

^{   z 1 a}

²

^{ b}

²

^{ 2 abi a bi     1}  ^a

²

^{ b}

²

^{  a 1} 

²

^{ b}

²

 ^{2 a  1} 

²

   

          

z

²

z 1 2 a

²

a

²

b

²

2 a 1

²

2 a 1 t

²

3

Vậy z   1 z

²

    z 1 t t

²

 3 . Chú ý rằng: ^{t    1 z}  ^{a  1} 

²

^{ b}

²

^{ 2 2  a}    ^{ 0;2 } vì a

²

 1 .

Xét hàm số ^{f t}   ^{  t t}

²

^{ 3 với t} _{  } ^{ 0;2  . Ta có:}

Trường hợp 1: ^{t  } _{ } ^{0; 3 } _{ } ^{ f t}   ^{   t 3 t}

²

^{ f t '}   ^{  1 2 t    0 t 1} ₂ ^.

Vì ^f   ^{0  3; f}   ^{3  3; f    } _{ } ¹ ₂ ^{ 13} ₄ ^{do đó max  13} ₄ ^{; min  3 .}

Trường hợp 2: ^{t  } _{ } ^{3;2 } _{ } ^{ f t}   ^{  t t}

²

^{  3 f t '}   ^{ 2 t   1 0} . Hàm đồng biến.

  ^{ }

f f

min  3  3; max  2  3

   .

Kết luận: Giá trị lớn nhất là 13

4 khi và chỉ khi z 7 15 i

8 8

  .

Giá trị nhỏ nhất là 3 khi và chỉ khi z 1 3 i

2 2

   

: 1 1 1