(2,00 ĐIỂM) CHO HÌNH THANG ABCD CÓ ˆ A D   ˆ 90, AD  4...

Câu 16 (2,00 điểm) Cho hình thang ABCD có ˆ A D   ˆ 90

, AD  4 AB , CD  3 AB . Gọi M là

trung điểm của AD , E là hình chiếu vuông góc của M lên BC . Tia BM cắt đường thẳng CD

tại F .

a) Chứng minh rằng   MAE MBE  .

b) Chứng minh rằng ABDF là hình bình hành.

c) Đường thẳng qua M vuông góc với BF cắt cạnh BC tại N . Gọi H là hình chiếu vuông

góc của N lên CD . Chứng minh rằng tam giác BNF cân.

d) Chứng minh rằng đường thẳng MH đi qua trung điểm của DE .

Lời giải

Xét tứ giác ABEM có

 90

MAB 

(gt) và MEB   90

( E là hình chiếu vuông góc của M lên BC )

  90 90 180



MAB MEB  





 Tứ giác ABEM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối trong bù nhau)

MAE MBE  

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ME ).

Ta có: AB // CD ( ABCD là hình thang)  AB // DF

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có: AB AM

DF  MD

AB DF

Mà AM  MD ( M là trung điểm AD ) nên AB 1

DF   

Xét tứ giác ABDF , ta có: AB // DF (cmt) và AB DF  (cmt)

 Tứ giác ABDF là hình binh hành (tứ giác có một cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau).

c) Chứng minh rằng tam giác BNF cân.

Ta có: ABDF là hình bình hành (cmt)

 Hai đường chéo AD và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà M là trung điểm AD (gt) nên M cũng là trung điểm BF .

Xét  BNF có:

NM là đường trung tuyến ( M là trung điểm BF ) và NM là đường cao ( MN  BF )

  BNF cân tại N (tam giác có trung tuyến đồng thời là đường cao)

Gọi K là giao điểm của MH và DE .

Xét tứ giác MNHF có

FMN 

( MN  BF ) và ^ NHF  90

( H là hình chiếu vuông góc của N lên CD )

FMN NHF  





 Tứ giác MNHF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối trong bù nhau)

  HFN HMN

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN ) (1)

Ta có: NFM    NBM (  NBF cân tại N ) mà NBM    NME (cùng phụ  BME )

  NFM NME

  (2)

Từ (1) và (2), ta cộng vế theo vế, ta được:     HMN NME HFN NFM     HME HFM   

Mà HFM    ABM (so le trong của AB // DF )

Mặt khác,   ABM  AEM (hai góc nội tiếp cùng chắn  AM , ABEM nội tiếp)

  HME AEM

  mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên AE // MH

Xét  AED có: M là trung điểm AD (gt) và AE // MK ( K MH  , AE // MH )

 K là trung điểm DE (định ly đường trung bình trong tam giác)

Vậy MH luôn đi qua trung điểm của DE (đpcm).

__________ THCS.TOANMATH.com __________