(2,00 ĐIỂM) CHO HÌNH THANG ABCD CÓ ˆ A D  ˆ 90  , AD  4...

Câu 16 (2,00 điểm) Cho hình thang ABCD có ˆ A D  ˆ 90 

, AD  4 AB , CD  3 AB . Gọi M là

trung điểm của AD , E là hình chiếu vuông góc của M lên BC . Tia BM cắt đường thẳng CD

tại ^F .

a) Chứng minh rằng  MAE MBE   .

b) Chứng minh rằng ABDF là hình bình hành.

c) Đường thẳng qua ^M vuông góc với ^BF cắt cạnh BC tại N . Gọi ^H là hình chiếu vuông

góc của N lên CD . Chứng minh rằng tam giác BNF cân.

d) Chứng minh rằng đường thẳng MH đi qua trung điểm của DE .

Lời giải

a) Chứng minh rằng MAE MBE    .

Xét tứ giác ^ABEM có

 90

MAB 

(gt) và MEB   90

( E là hình chiếu vuông góc của M lên BC )

  90 90 180

MAB MEB  







 Tứ giác ABEM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối trong bù nhau)

 

MAE MBE

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ^ME ).

b) Chứng minh rằng ABDF là hình bình hành.

Ta có: AB // CD ( ABCD là hình thang)  AB // DF

AB AM

DF  MD

Áp dụng hệ quả của định lý Ta-let, ta có:

AB DF

DF   

Mà AM  MD ( M là trung điểm AD ) nên AB 1

Xét tứ giác ABDF , ta có: AB // DF (cmt) và AB DF  (cmt)

 Tứ giác ^ABDF là hình binh hành (tứ giác có một cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau).

c) Chứng minh rằng tam giác BNF cân.

Ta có: ^ABDF là hình bình hành (cmt)

 Hai đường chéo AD và BF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà ^M là trung điểm ^AD (gt) nên ^M cũng là trung điểm ^BF .

Xét  BNF có:

NM là đường trung tuyến ( ^M là trung điểm ^BF ) và NM là đường cao ( MN  BF )

BNF

  cân tại N (tam giác có trung tuyến đồng thời là đường cao)

d) Chứng minh rằng đường thẳng ^MH đi qua trung điểm của ^DE .

Gọi K là giao điểm của MH và DE .

Xét tứ giác MNHF có

FMN 

( MN  BF ) và NHF   90

( H là hình chiếu vuông góc của N lên CD )

FMN NHF  





 Tứ giác MNHF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối trong bù nhau)

HFN HMN

  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN ) (1)

Ta có:  NFM  NBM  (  NBF cân tại N ) mà NBM    NME (cùng phụ BME  )

NFM NME

  (2)

Từ (1) và (2), ta cộng vế theo vế, ta được: HMN NME HFN NFM         HME HFM   

Mà HFM    ABM (so le trong của AB // DF )

Mặt khác,  ABM   AEM (hai góc nội tiếp cùng chắn  AM , ABEM nội tiếp)

HME AEM

  mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên AE // MH

Xét ^{ AED} có: ^M là trung điểm ^AD (gt) và AE // MK ( ^{K MH } , AE // MH )

 K là trung điểm DE (định ly đường trung bình trong tam giác)

Vậy ^MH luôn đi qua trung điểm của ^DE (đpcm).