(3,0 ĐIỂM) CHO ĐƯỜNG TRÒN TÂM O, BÁN KÍNH R VÀ ĐIỂM A NẰM NGOÀI ĐƯỜNG...

Câu 8: (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA2R. Từ A kẻ 2 tiếp tuyến AD; AE đến đường tròn

 

O (D; E là 2 tiếp điểm). Lấy điểm M nằmtrên cung nhỏ DE sao cho MD ME . Tiếp tuyến của đường tròn

 

O tại M cắt AD; AElần lượt tại I; J. Đường thẳng DE cắt OJ tại F. a) Chứng minh: OJ là đường trung trực của đoạn thẳng ME và MOF OEF  .b) Chứng minh: tứ giác ODIM nội tiếp và 5 điểm I; D; O; F; M cùng nằm trên mộtđường tròn.c) Chứng minh JOM IOA và sin MFIOA IOLời giải a) CMR: OJ là đường trung trực của ME.Xét

 

O có JM và JE là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại JJM JE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).J thuộc đường trung trực của ME

 

¹Lại có ^{OM OE}

 

^{R O} thuộc đường trungtrực của ME

 

²Từ

 

^{1 và}

 

^{2 OJ} là đường trung trực của ME.Do F thuộc đường trung trực của MEME MF . Xét OMF và OEF, có:

 

 OM OE ROF là cạnh chung MF EF (cmt)  OMF OEF (c-g-c) a) CMR: ODIM nội tiếp và , , ,I D O M cùng nằm trên cùng một đường tròn.Xét

 

^{O có AD} là tiếp tuyến ADODADO 90Do IM là tiếp tuyến của

 

^{O nên IM OM OMI 90}Xét tứ giác ODIM , có:  IMO    90 90 180IDO ODIM nội tiếp

 

¹Ta có: OD OE   R ODE cân tại OODF OEF mà OMF OEF  (cmt)Suy ra ODF OMF Xét tứ giác ODMF, có ODF OMF  (cmt) ODMF nội tiếp

 

²Từ

 

^{1 và}

 

^{2  , , ,I D O M} cùng nằm trên cùng một đường tròn.c) OHD 90 (AD AE, là tiếp tuyến)  90OKD (ID IM, là tiếp tuyến)Suy ra OHD OKD  suy ra OHKD là tứ giác nội tiếpSuy ra D 

₂

O

₂

mà D 

₂

O

₁

(OMFD nội tiếp) Suy ra O 

₁

O

₂

(đpcm) Ta có sinIOA r (r là bán kính của đường tròn ngoại tiếp OMFI)  MF2Suy ra sin MFIOA OI (đpcm)