ĐỂ CHỨNG MINH BÀI TỐN, TA CHỈ RA SỐ Y THỎA MÃN HAI ĐIỀU KIỆN
225. Để chứng minh bài tốn, ta chỉ ra số y thỏa mãn hai điều kiện : 0 < y < 0,1 (1).
x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2 (2).
Ta chọn y =
(
3
−
2
)
200
. Ta cĩ 0 <
3
−
2
< 0,3 nên 0 < y < 0,1. Điều kiện (1) được
chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Ta cĩ :
(
) (
200
) (
200
) (
100
)
100
x y
+ =
3
+
2
+
3
−
2
= +
5 2 6
+ −
5 2 6
.
Xét biểu thức tổng quát S
n
= a
n
+ b
n
với a = 5 + 2
6
, b = 5 - 2
6
.
S
n
= (5 + 2
6
)
n
= (5 - 2
6
)
n
A và b cĩ tổng bằng 10, tích bằng 1 nên chúng là nghiệm của phương trình X
2
-10X + 1 = 0, tức là : a
2
= 10a – 1 (3) ; b
2
= 10b – 1 (4).
Nhân (3) với a
n
, nhân (4) với b
n
: a
n+2
= 10a
n+1
– a
n
; b
n+2
= 10b
n+1
– b
n
.
Suy ra (a
n+2
+ b
n+2
) = 10(a
n+1
+ b
n+1
) – (a
n
+ b
n
),
tức là S
n+2
= 10S
n+1
– S
n
, hay S
n+2
≡
- S
n+1
(mod 10)
Do đĩ S
n+4
≡
- S
n+2
≡
S
n
(mod 10) (5)
Ta cĩ S
0
= (5 + 2
6
)
0
+ (5 - 2
6
)
0
= 1 + 1 = 2 ; S
1
= (5 + 2
6
) + (5 - 2
6
) = 10.
Từ cơng thức (5) ta cĩ S
2
, S
3
, … , S
n
là số tự nhiên, và S
0
, S
4
, S
8
, … , S
100
cĩ tận cùng bằng 2, tức là
tổng x + y là một số tự nhiên cĩ tận cùng bằng 2. Điều kiện (2) được chứng minh. Từ (1) và (2) suy ra
điều phải chứng minh.