CHO KHỐI CHÓP TỨ GIÁC ĐỀU S.ABCD MÀ KHOẢNG CÁCH TỪ ĐỈNH A ĐẾN MP(SBC)...

Bài 19: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) bằng

2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp

nhỏ nhất ?

Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất:

+ Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc

S

với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp

S.ABCD.

+ Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD

với M ^∈ CD và N ^∈ AB.

+ CD ⊥ (SMN), trong (SMN) vẽ NK ⊥ SM, khi đó NK

⊥ CD ^⇒ NK ⊥ (SCD). Vậy NK = d ( ^{N SCD ,( )} )

K

+ Vì AB//CD ^⇒ AB//(SCD)

B C

⇒ d ( ^{A SCD ,( )} ) ^{= NK = 2a.}

Ta có: SM ⊥ CD và MN ⊥ CD

N M

· ( ^{( ),( )} )

⇒ = =

SMN α SCD ABCD

O

A D

NK a a

, 1 2

µ ·

∆ = ⇒ = = ⇒ =

NKM K v MN OM

sin sin

sin

NMK α α

SOM O v SO OM a

+ ^{, µ 1 tan}

∆ = ⇒ = = α

os

α c

a a a

= = = =

+

¹ . ¹

. ^{1 4} .

.

⁴

V S SO MN SO

α α α α

3 3 3 sin os 3sin os

c c

Vậy V

nhỏ nhất ^{⇔ f ( ) sin} α =

α ^{c os} α lớn nhất, với 0

< < α 90

2

3

2

3

3

'( ) 2cos .sin sin 2sin (1 sin ) sin 2sin 3sin

f α = α α − α = α − α − α = α − α

α  α  α 

=    + ÷ ÷  − ÷ ÷ 

^{3sin 2 sin 2 sin}

3 3

2 2 2

'( ) 0 sin 0 sin arcsin

f α = ⇔ − α = ⇔ α = ⇔ = α

3 3 3

Lập bảng biến thiên hàm số f( ^α ) trên khoảng ( ^{0 ; 90}

) ^:

α 0

arcsin ²

3 90

f’( ^α ) ^P + 0 - ^P

f( ^α ) f

P 0 0 ^P

Ta có f( ^α ) lớn nhất ^⇔ arcsin ²

α = 3 .

Vậy thể tích S.ABCD nhỏ nhất ^⇔ f( ^α ) lớn nhất ^⇔ arcsin ²

α = 3 .