(0,5 ĐIỂM) CHO X Y Z, , LÀ CÁC SỐ DƯƠNG THAY ĐỔI THỎA MÃN

Bài 5 (0,5 điểm) Cho x y z, , là các số dương thay đổi thỏa mãn: xy +yz +zx =5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =3x

²

+3y

²

+z

²

Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương: x

²

và y

²

, ta được:

2

2

2

2

2 2x +y ≥ x y = xy (vì x y, là các số dương) (1)

2

z , ta được: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 2x

²

và 2

2

2

z z2 2 2 2x + ≥ x ⋅ = xz (vì x z, là các số dương) (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 2y

²

và y + ≥ y ⋅ = yz (vì y z, là các số dương) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: T =3x

²

+3y

²

+z

²

≥2xy +2xz +2yz⇒ ≥ + + ⇒ ≥T 102( )T xy xz yzx = zDấu " "= xảy ra khi x

²

=y

²

và 2

2

⇒ = và z =2x (vì x y z, , là các số dương). Thay x =y và z =2x vào x y5xy +yz +zx = , ta được: 5x

²

= ⇔5 x

²

= ⇔ =1 x 1 (vì x >0) ⇒ = = = = 1; 2 2y x z xVậy giá trị nhỏ nhất của T là 10 khi x = =y 1;z =2

GV: Nguyễn Hữu Phúc 0888014879 Facebook: https://facebook.com/nhphuclk

Website: https://chiasefull.com Youtube:https://youtube.com/nguyenhuuphuc2017