E D/22A00Ξ −−Ξ−22+−Ξ()X)(X−Τ ΞΤTD F 2,T(∫ ∫+∞ Τ2Τ4AA+ DE) E...

3

)e d

/

2

2a

0

ξ −

−

ξ

−

+

(

)

x

−τ ξτ

t

d f

²

,t(

∫ ∫

⁺

^∞

^τ

τ

4

a

+ de) e (8.3.3) 

0

0

Định lý Cho f ∈ C(H, 3)∩ B(D, 3), g ∈ C(D, 3)∩ B(D, 3), h ∈ C(3

₊

, 3)∩ B(3

₊

, 3) thoả m~n f(0, t) = 0 và g(0) = 0 Bài toán SP1 có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức (8.3.3) Nhận xét Ph−ơng pháp trên có thể sử dụng để giải các bài toán giả Cauchy khác.

Đ4. Bài toán hỗn hợp thuần nhất

Bài toán HP1a Cho các miền D = [0, l], H = D ì [0, T] và hàm g ∈ C(D, 3) Tìm hàm u ∈ C(H, 3) thoả m~n ph−ơng trình truyền nhiệt ∂ với (x, t) ∈ H

₀

(8.4.1) ∂ = a

²

₂

u∂xđiều kiên ban đầu u(x, 0) = g(x) (8.4.2) và điều kiện biên u(0, t) = 0, u(l, t) = 0 (8.4.3) • Tìm nghiệm của bài toán HP1a dạng tách biến u(x, t) = X(x)T(t) Thế vào ph−ơng trình (8.4.1) và điều kiện biên (8.4.3) đ−a về hệ ph−ơng trình vi phân X”(x) + λX(x) = 0 (8.4.4) T’(t) + λa

²

T(t) = 0 (8.4.5) X(0) = X(l) = 0 với λ ∈ 3 (8.4.6) Lập luận t−ơng tự nh− bài toán HH1a, tìm nghiệm riêng không tầm th−ờng của hệ ph−ơng trình (8.4.4) và (8.4.6), nhận đ−ợc họ nghiệm riêng trực giao trên đoạn [0, l] kπ với A

_k

∈ 3 và λ

k

=   π , k ∈ ∠

^*

k X

_k

(x) = A

_k

sin xlThay vào ph−ơng trình (8.4.5) tìm đ−ợc họ nghiệm riêng độc lập Ch−ơng 8. Ph−ơng Trình Truyền Nhiệt







π

k

²

−

với B

_k

∈ 3, k ∈ ∠

^*



e

^

^

T

_k

(t) = B

_k

^l

^t

Suy ra họ nghiệm riêng độc lập của bài toán HP1 kπ với a

_k

= A

_k

B

_k

, k ∈ ∠

^*

−

sin xu

_k

(x, t) = X

_k

(x)T

_k

(t) = a

_k

^l

^t

• Tìm nghiệm tổng quát của bài toán HP1 dạng chuỗi hàm

k

sin k

−

π





l

t

u =

∑

⁺

^∞

(8.4.7) u(x, t) =

∑

^+∞

k

(x,t)

k

x

=

=1

1

Thay vào điều kiện ban đầu (8.4.2) πsinku(x, 0) =

∑

^+∞

a = g(x) Nếu hàm g có thể khai triển thành chuỗi Fourier thì 2 (8.4.8) l g)l xdxa

_k

=

∫

^l

^πĐịnh lý Cho hàm g ∈ C

¹

(D, 3) thoả m~n g(0) = g(l) = 0. Chuỗi hàm (8.4.7) với các hệ số a

_k

tính theo công thức (8.4.8) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán HP1a. Chứng minh • Hàm g theo giả thiết thoả m~n điều kiện Diriclet và do đó khai triển đ−ợc thành chuỗi Fourier hội tụ đều trên đoạn [0, l]. Do đó chuỗi hàm (8.4.7) với các hệ số a

_k

tính theo công thức (8.4.8) là hội tụ đều và có thể đạo hàm từng từ theo x hai lần, theo t một lần trên miền H. Kiểm tra trực tiếp thấy rằng chuỗi hàm (8.4.7) và các chuỗi đạo hàm riêng của nó thoả m~n ph−ơng trình (8.4.1) và các điều kiện (8.4.2), (8.4.3) • Lập luận t−ơng tự nh− bài toán CP1 suy ra tính ổn định và duy nhất nghiệm. ∂ =

₂

∂ với (x, t) ∈ [0, 1] ì [0, T] Ví dụ Giải bài toán u(x, 0) = x(1 - x) và u(0, t) = u(1, t) = 0 Theo công thức (8.4.8) ta có =0 − = -18 k 2na

_k

= 2

∫

^l

^{− π}xdxkx = 4

₃

₃

sinπ =+2n k 

3