BK = − ∫Π Θ Θ Θ1 (8.8.5) AK = − ∫Π Θ Θ ΘΠΠ1K H( )COSK D1K H( )SINK...

1 , - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN 1 , - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN 1 , - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
1 , b

k

=

−

∫

π

θ θ θ1 (8.8.5) a

k

=

−

∫

π

θ θ θπ

1

k

h( )cosk d

k

h( )sink dRk

0

Định lý Cho h ∈ C

1

([0, 2π], 3) thoả m~n h(0) = h(2π). Chuỗi hàm (8.8.4) với các hệ số a

k

và b

k

tính theo công thức (8.8.5) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE1. • Lập luận t−ơng tự nh− các bài toán DE2 chung ta giải các bài toán sau đây Bài toán NE2b Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h

b

∈ C([0, d], 3). Tìm hàm u ∈ C(D, 3) thoả m~n ph−ơng trình Laplace +∂∂ = 0 với (x, y) ∈ D

0

u∆u =

2

2

2

2

∂yxvà các điều kiện biên ∂ (l, y) = h

b

(y) u(x, d) = u(0, y) = u(x, 0) = 0, Định lý Cho hàm h

b

∈ C

1

([0, d], 3). Bài toán NE2b có nghiệm duy nhất và ổn định xác định theo công thức

d

sin kshk2 (8.8.6) b với b

k

= π

∫

π)h(u(x, y) =

∑

+∞

d x

b

ydy

k

ylchkd

=

k

Ch−ơng 8. Ph−ơng Trình Truyền Nhiệt Bài toán NE2d Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và hàm h

d

∈ C([0, d], 3). ∆u = 0 với (x, y) ∈ D

0

∂ (0, y) = h

d

(y) u(x, 0) = u(l, y) = u(x, d) = 0, Định lý Cho hàm h

d

∈ C

1

([0, d], 3). Bài toán NE2d có nghiệm duy nhất và ổn định xác − πd (−

d

sink2 (8.8.7) với d

k

= π

∫

π

d

ydyBài toán NE2 Cho miền D = [0, l] ì [0, d] và các hàm g

1

, g

3

∈ C([0, l], 3) và h

2

, h

4

∈ C([0, d], 3) ∆u = 0 với (x, y) ∈ D

0

∂ (0, y) = h

4

(y) ∂ (l, y) = h

2

(y), u(x, 0) = g

1

(x), u(x, d) = g

3

(x) và • Tìm nghiệm của bài toán NE2 d−ới dạng u(x, y) = u

0

(x, y) + u

a

(x, y) + u

b

(x, y) + u

c

(x, y) + u

d

(x, y) (8.8.8) Trong đó các hàm u

a

(x, y) và u

c

(x, y) là nghiệm của bài toán DE2a và DE2c, các hàm u

b

(x, y) và u

d

(x, y) là nghiệm của bài toán NE2b và NE2d, còn hàm u

0

(x, y) = A + Bx + Cy + Dxy (8.8.9) là nghiệm của bài toán DE sao cho u

α

(x, y) triệt tiêu tại các đỉnh của hình chữ nhật • Lập luận t−ơng tự nh− bài toán DE2 suy ra gg

1

−

1

0A = g

1

(0) B = g

3

−

1

−

3

+

1

g

3

−

1

D = C = d (8.8.10) ldThế vào điều kiện biên suy ra x(g

1

(l) - g

1

(0)) g

a

(x) = g

1

(x) - g

1

(0) - x(g

3

(l) - g

3

(0)) g

c

(x) = g

3

(x) - g

3

(0) - h

b

(y) = h

2

(y) - (B + Dy) y

3

−

1

−

3

+

1

g

1

−

1

- = h

2

(y) - h

d

(y) = h

4

(y) - (B + Dy) y

3

−

1

−

3

+

1

(8.8.11) g

1

−

1

- = h

4

(y) - • Kết hợp các công thức (8.7.4), (8.7.6), (8.8.6), (8.8.7) và (8.8.8) suy ra công thức  π  π − + πu(x, y) = u

0

(x, y) +

∑

+∞

al (cl y

k

x π + π −sh kb (8.8.12) +

∑

+∞

Định lý Cho các hàm g

1

, g

3

∈ C

1

([0, l], 3) và g

2

, g

4

∈ C

1

([0, d], 3) thoả m~n g′

a

(0) = h

d

(0), g′

a

(l) = h

b

(0) và g′

c

(0) = h

d

(d), g′

c

(l) = h

b

(d) Chuỗi hàm (8.8.12) với hàm u

0

(x, y) xác định theo các công thức (8.8.9) - (8.8.10) và các hệ số a

k

và c

k

xác định theo các công thức (8.7.5) và (8.7.7) còn các hệ số b

k

và d

k

xác định theo các công thức (8.8.6) và (8.8.7) với các hàm g

a

, g

c

, h

b

và h

d

xác định theo công thức (8.8.11) là nghiệm duy nhất và ổn định của bài toán NE2.

Bài tập ch−ơng 8

• Giải các bài toán Cauchy ∂ u

t=0

= xe

−

x

2

∂ = a

2

2

2