CHỨNG MINH BA ĐIỂM D, E, I THẲNG HÀNG. ĐỊNH HƯỚNG
3 . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho
DE kDI , muốn vậy ta sẽ phân tích các vectơ DE DI , qua hai vectơ không cùng phương
AB và AD và sử dụng nhận xét " ma nb 0 m n 0 với a b , là hai vectơ
không cùng phương " từ đó tìm được 2
k 3 .
Lời giải (hình 1.35)
Ta có DI DC CI DC 1 CB AB 1 AD
2 2 (1)
Mặt khác theo giả thiết ta có AE 2 AC
3 suy ra
A
B
2
DE DA AE DA 3 AC
I
E
2 2 1
AD AB AD AB AD (2)
D C
3 3 3
Hình 1.35Từ (1) và (2) suy ra 2
DE 3 DI
Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn thẳng cố định BC và BD (
2 3 10
M B N , B ) sao cho BC BD
BM BN
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải
Dễ thấy luôn tồn tại điểm I thuộc MN sao cho 2 BC 3 BD 0 1
IM IN
BM BN .
Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
Gọi H là điểm thỏa mãn 2 HC 3 HD 0 2 do đó H cố định.
Ta có 2 5 HB 2 BC 3 BD 0
2 3
BC BD 5
BM BN BH
BI IM BI IN BH
2 BC 3 BD 5
BI BH
BM BN (theo (1))
10 5 1
BI BH BI 2 BH (3)
Do các điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định bởi hệ thức (3))
Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song AA BB CC
1
,
1
,
1
của đường tròn (O). Chứng minh rằng
trực tâm của ba tam giác ABC BCA CAB
1
,
1
,
1
nằm trên một đường thẳng.
Gọi H H H
1
,
2
,
3
lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC BCA CAB
1
,
1
,
1
Ta có: OH
1
OA OB OC
1
, OH
2
OB OC OA
1
và OH
3
OC OA OB
1
Suy ra H H
1
2
OH
2
OH
1
OC OC
1
OA
1
OA C C
1
AA
1
H H
1
3
OH
3
OH
1
OC OC
1
OB
1
OB C C
1
BB
1
Vì các dây cung AA BB CC
1
,
1
,
1
song song với nhau
Nên ba vectơ AA BB CC
1
,
1
,
1
có cùng phương
Do đó hai vectơ H H
1
2
và H H
1
3
cùng phương hay ba điểm H H H
1
,
2
,
3