(3,5 ĐIỂM) CHO TAM GIÁC ABC, GỌI M, E LẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM...

Bài 4.

(3,5 điểm) Cho tam giác

ABC

, gọi

M

,

E

lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC

,

AC

. Trên tia

đối của tia

EM

lấy điểm

I

sao cho

EI



EM

^.

a) Chứng minh



AIE



CME

và từ đó suy ra

A I

/ /

M C

b) Chứng minh

AM



IC

c) Gọi

D

là trung điểm

AB

, trên nửa mặt phẳng bờ

AB

không chứa điểm

I

, kẻ tia

A x

sao cho

xAB ABC

 



^{. Tia}

^{A x}

^{cắt tia}

^MD

^tại

^K

. Chứng minh

A

là trung điểm của

I K

.

d)

AM

cắt

DE

tại

J

. Chứng minh

1

DJ



4

BC

Lời giải

I

K

A

x

E

D

J

B

M

C

a) Chứng minh



AIE



CME

và từ đó suy ra

^{A I}

^{/ /}

^{M C}

Xét



AIE

^và



^CME

^có:

AE EC



^(vì

E

là trung điểm của

AC

)

AEI

 



CEM

(Hai góc đối đỉnh)

EI



EM

^(gt)

Do đó:



AIE



CME

^(c.g.c)

AIE EMC

 





(Hai góc tương ứng)

Mà

AIE



;

EMC



là hai góc so le trong



A I

M C

/ /

b) Chứng minh

AM



IC

Xét



MEA

^và



^IEC

^có:

AEM

 



IEC

(Hai góc đối đỉnh)

Do đó:



MEA



IEC

^(c.g.c)





(Hai cạnh tương ứng)

AM

IC

c) Chứng minh

A

là trung điểm của

I K

_.

Ta có:

xAB ABC

 



^(gt)

Mà

xAB



và

ABC



là hai góc so le trong



hay

A K

/ /

B C

(1)

A x

B C

Theo câu a:

A I

/ /

M C

hay

A I

/ /

B C

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: Ba điểm

I

,

A

,

K

thẳng hàng (Tiên đề Euclid)

Xét



AKD

^và



BMD

^có:

ADK MDB

 



(Hai góc đối đỉnh)

AD



DB

^(vì

D

là trung điểm của

AB

)

KAD MBD

 



^(gt)

Do đó:



AKD



BMD

^(g.c.g)





(Hai cạnh tương ứng) (3)

AK

BM

Ta lại có

MB



MC

^(vì

M

là trung điểm của

BC

) (4)

Vì



AIE



CME

(câu a) nên

AI



MC

(Hai cạnh tương ứng) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra:

AI



AK

Và ba điểm

I

,

A

,

K

thẳng hàng (cmt)

Suy ra:

A

là trung điểm của

I K

.

d) Chứng minh

1

DJ



4

BC

Xét



ABM

^và



MIA

^có:

AM

là cạnh chung

AMB IAM

 



(Hai góc so le trong,

A I

/ /

B C

)

AI



MB

(vì cùng bằng

MC

)

Do đó:



ABM

 

MI A

(c.g.c)





(Hai cạnh tương ứng) và

_MAB

 

_

_AMI

(Hai góc tương ứng)

AB

MI

Mà

_MAB



_và

_AMI



là hai góc so le trong.

Vì

AB



MI

nên

AD



BD



EI



EM

(

D

là trung điểm của

AB

,

EI



EM

)

Xét



ADJ

^và



MEJ

^có:

ADJ

 



MEJ

(Hai góc so le trong,

AB

/ /

MI

)

AD



EM

(cmt)

JAD

 



JME

(Hai góc so le trong,

AB

/ /

MI

)

Do đó:



ADJ

 

MEJ

^(g.c.g)

DJ

EJ

Mà

DJ



EJ



ED



^DJ



¹

₂

^ED

(6)

Xét



BMD

và



EDM

có:

BD



EM

(cmt)

MDB

 



EMD

(Hai góc so le trong,

AB

/ /

MI

)

MD

là cạnh chung

Do đó:



BMD

 

EDM

(c.g.c)





(Hai cạnh tương ứng) (7)

MB

ED

Từ (6) và (7) suy ra:

1

1 1

1

DJ



MB

 

BC



BC

2

2 2

4

Vậy

1

DJ



4

BC