CÂU 5 (4,0 ĐIỂM). − − +

6,

_n

u

ⁿ

n u

ⁿ

1 n= =

với

n≥1.

u u

(4

,0đ)

a) (2,0 điểm) Cho dãy số

( )

u

n

^,

biết

²

( )

²

1

1

+

n 1 1 1+ + +

Tính giới hạn:

 lim ... . 

1

2

u u u

n

Ta có:

u

₁

= >6 3.1

2

u =u − + =u >

2

1

1

2 32 3.2

Giả sử

u

_k

>3 ,k ∀ ∈k 

^*

. Ta cần chứng minh

u

_k

₊

1

>3

(

k+1

)

− + + +− + +

0,5

3 2u u k ku k ku ku k k= =

Thật vậy

:

²

²

( )

²

k

k

k

k

k

u

⁺

k k

1

k

( )

⇒ > + + > + + > +

(đpcm)

u

₊

u k k k k

1

2 1 2.3 1 3 1

Vậy

u

_n

>3 ,n

v

ới mọi

n∈

^*

^(1).

− + + −

2

2

2

u ku k k u ku= ⇔ = + +

k

k

k

k

1u u k

+

+

k k

⇔ − + = − ⇔ = = −u ku k

( ) ( )

1 1u k

+

− + − −k u k u ku u k u

k

k

k

k

k

⇔ = −1 2 .− − +u u k u

₊

k

Áp dụng (2

) suy ra

− −1 2u =u −u

1

1

2

2 3

2

2

3

…

n

n

n

1u =u n−u

₊

n

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được

1 1 1 1 1 1 1+ + + = − = −... 3

( ) ( ) ( )

Vậy

1

( )

1 2 2u

n

₊

n < nlim 0 lim 0 3

Mà

( ) ( )

+ − +2n 2 = ⇒ u

_n

₊

n 1 =1 1 1 1+ + + =

Từ (2) và (3), suy ra

 

n

5u u u

b) (2,0 điểm) Cho ba số thực

a b c, ,

thuộc đoạn

[ ]

^{0; 2 .}

Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

^P=

(

^{a c}

²

^{+c b b c}

²

⁻

²

^{−c a}

²

^{−a b a}

²

) ⁽

^{+ +b c}

⁾

^.

Với ba số thực

a b c, ,

thuộc đoạn

[ ]

^{0; 2}

^{ta có}

a c

²

+c b b c

²

−

²

−c a

²

−a b

²

≤a c

²

+c b

²

+b a b c

²

−

²

−c a

²

−a b

²

( )( )( )

⇒ + − − − ≤ − − −

2

2

2

2

2

a c c b b c c a a b a b b c c a⇒ ≤

với

^Q=

(

^{a b b c c−}

)(

⁻

)(

^−a

)(

^{a+ +b c}

)

^(1).

P Q

Ta sẽ chứng minh

32 3Q≤ 9

(2)

Thật vậy: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

^a=max

{

^{a b c; ;}

}

TH1:

a≥ ≥ ⇒ ≤b c Q 0

TH2:

a≥ ≥c b

, áp dụng bất dẳng thức Cô – Si cho ba số không âm

(

^{3 1+}

) ⁽

^a−c

^{) (}

^{; 2 c b−}

⁾

^;

(

^{3 1−}

) ⁽

^{a+ +b c}

⁾

^{ta có}

 + − a b + − − − + + ≤3 1 2 3 1a c c b a b c

( ) ^{( ) ( )} ( ) ^{( )}

^{2 3}

(

^{3 3}

)

³

3 

( )( )( )

^{2 3}

(

^{3 3}

)

³

⇒ − − + + ≤

a c c b a b c108 −  + − a b a b

( )( )( )( ) ( )

^{2 3}

(

^{3 3}

)

³

⇒ − − − + + ≤

(3)

a b a c c b a b c

( )

^{2 3}

(

^{3 3}

)

³

32 3a b−  a+ − b ≤

(4)

Mà

108 9

Từ (3) và (4) suy ra

32 3Q≤ 9

.

Do đó (2) đúng. Từ (1) và (2) suy ra

32 3P≤ 9

.