BÀI 5 ( 0,5 ĐIỂM ) CHO HAI SỐ DƯƠNG X , Y THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN SAU

Câu 4: (3,0 điể m)

Cho n ửa đườ ng tròn tâm O đườ ng kính AB = 2 R và C D , là hai điểm di độ ng trên n ửa đườ ng

tròn sao cho C thuộc cung AD và COD ^ = 60 ° ( C ≠ A D ; ≠ B ). Gọi M là giao điểm của các

tia AC và BD . N là giao điểm của dây AD và BC . Gọi H và I lần lượt là trung điểm của

CD và MN .

a) Ch ứ ng minh t ứ giác CMDN n ộ i ti ế p.

b) K ẻ ^{AP ⊥ CD BQ ; ⊥ CD P Q} ( ^{, ∈ CD} ) ^{. Ch} ứ ng minh CP = DQ và AP + BQ = R 3 .

c) Chứng minh rằng ba điểm H I , và O thẳng hàng. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác

MCD theo R khi C D , di chuy ể n trên n ửa đườ ng tròn th ỏa mãn điề u ki ện đề bài.

L ờ i gi ả i

M

Q

I

D

H

C

P

N

O B

A

a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp.

Ta có ^{ } ACB = ADB = 90 ° (góc n ộ i ti ế p ch ắ n n ửa đườ ng tròn) ⇒ MCN ^{ } = MDN = 90 ° (k ề bù

với các góc vuông) ⇒ tứ giác CMDN nội tiếp đường tròn đường kính MN .

b) Kẻ ^{AP ⊥ CD BQ ; ⊥ CD P Q} ( ^{, ∈ CD} ) . Chứng minh CP = DQ và AP + BQ = R 3 .

Vì H là trung điểm dây cung CD ⇒ HC = HD OH ; ⊥ CD (quann hệ vuông góc giữa đường

kính và dây).

⇒ (cùng vuông góc với CD ) ⇒ APQB là hình thang có O là trung điểm của

// //

AP OH BQ

AB và OH AP BQ // // ⇒ H là trung điể m PQ ⇒ HP = HQ mà HC = HD

⇒ − = − ⇒ = .

HP HC HQ HD CP DQ

Tam giác OCD cân t ạ i O có ^{COD  = 60 °} ( ) ^{GT ⇒ ∆ OCD} là tam giác đề u c ạ nh OC = ⇒ R

OH = R .

đườ ng cao ³

2

Vì O là trung điểm AB ; H là trung điểm PQ ⇒ OH là đường trung bình của hình thang

AP BQ OH R R

⇒ + = = = .

APQB 3

2 2. 3

V ậ y AP + BQ = R 3 .

MCD theo R khi C D , di chuyển trên nửa đường tròn thỏa mãn điều kiện đề bài.

E

K

Ta có I là trung điểm của MN ⇒ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN ⇒ IC = ID ;

mà OC = OD = ⇒ R OI là đườ ng trung tr ự c c ủ a CD ⇒ OI ⊥ CD t ạ i t rung điể m H c ủ a CD

⇒ thẳng hàng.

, ,

H I O

Gọi K là giao điểm của MN và CD kẻ ME ⊥ CD tại E ta có ME ≤ MK (quan hệ giữa

đường vuông góc và đườ ng xiên).

∆ OCD đều ⇒ CD = OC = R không đổi nên diện tích tam giác MCD là:

1 1

. .

S MCD = ME CD ≤ MK R nên diện tích ∆ MCD lớn nhất khi K ≡ E mà

2 2

; ;

I ∈ MK ME ⊥ CD IH ⊥ CD ⇒ ME là trung tr ự c c ủ a CD ⇒ MC = MC ⇒ ∆ MCD cân t ạ i M ;

L ạ i có CMD ^ là góc có đỉ nh n ằm ngoài đườ ng tròn nên

 ¹ ₂ (   ) ¹ ₂ ^{( 180 60 ) 60}

CMD = sd AB − sd CD = ° − ° = ° ⇒ ∆ MCD đề u có c ạ nh CD = R

2 3

S R

⇒ = .

MCD 4

R khi M I H O , , , thẳng hàng.

Vậy diện tích lớn nhất của ∆ MCD bằng ^{2 3}

4