1.1 0 0+ + =K.1.1. − ⇒ = −2 K 1. VẬY P=(A B B C A C− )( − )( − ). )B...
2.1.1 0 0
+ + =
k
.1.1.
− ⇒ = −
2
k
1
.
Vậy
P
=
(
a b b c a c
−
)(
−
)(
−
)
.
)
b
Tương tự
Q
=
(
a b b c c a
−
)(
−
)(
−
)
.
Ví dụ 12. Phân tích đa thức
a
3
+
b
3
+ −
c
3
3
abc
thành nhân tử.
Giải
Cách 1. Xem
f x
( )
=
a
3
−
3
abc b
+ +
3
c
3
là đa thức bậc ba đối với
a
. Ta có:
(
)
(
)
3
3
(
)
3
3
0
f
− −
b c
= − +
b
c
+
b
+
c bc b
+
+
c
=
.
( )
f a
chia hết cho
a b c
+ +
. Thực hiện phép chia đa thức
f a
( )
cho
a b c
+ +
hoặc dùng sơ
đồ horner để tìm đa thức dương:
1
0
−
3bc
b
3
+
c
3
− −
b c
1
− −
b c
b
2
+
c
2
−
bc
0
Đa thức thương
q x
( )
=
a
2
− +
(
b c a b
)
+
2
+ −
c
2
bc
.
Vậy:
f a
( ) (
=
a
+ +
b
c
)
a
2
− +
(
b
c a
)
+
b
2
+
c
2
−
bc
.
Hay:
a
3
+
b
3
+ −
c
3
3
abc
=
(
a
+ +
b
c
)
(a
2
+
b
2
+
c
2
−
ab bc ca
−
−
).
Cách 2. Thay
a
bởi
− −
b c
thì đa thức có giá trị là
0
nên
P
=
a
3
+
b
3
+ −
c
3
3
abc
chia hết cho
a b c
+ +
.
P có bậc ba đối với các biến,
a b c
+ +
và có bậc một nên thương là đa thức bậc hai đối với
các biến và
a
, b, c
có vai trò như nhau nên thương có dạng
k a
(2
+
b
2
+
c
2
)+
l ab bc
(
+
+
ca
)
với
k l
.
là hằng số. Ta có hẳng đẳng thức:
3
3
3
2
2
2
3
(
)[ (
)
(
)]
a
+ + −
b
c
abc
= + +
a b c k a
+ +
b
c
+
l ab bc ca
+
+
.
Thay
a
=
1,
b
= =
c
0
ta được
k
=
1
.
Thay
a
= =
b
1,
b
=
0
ta được :
2
=
2(2
+
l
)
suy ra
l
= −
1
.
Vậy :
a
3
+ + −
b
3
c
3
3
abc
= + +
(
a b c a
)(
2
+ + −
b
2
c
2
ab bc ca
− −
)
.
Dạng 6. TÌM CÁC HỆ SỐ ĐỂ ĐA THỨC f(x) CHIA HẾT CHO g(x)
Phương pháp giải
• Đa thức f(x) gọi là chia hết cho đa thức g(x) nếu có đa thức q(x) sao cho
.
Ch
ẳng hạn :
chia h
ết cho
vì
• Để xác định các hệ số của đa thức sao cho f(x) chia hết cho g(x) ta sử dụng một trong các
phương pháp :
+ Định lí Bezout : ‘’ Nếu f(x) chia hết cho
thì
‘’.
+ Th
ực hiện phép chia đa thức tìm đa thức dư
:
, sau đó cho
+ Dùng đồng nhất .
Ví dụ 13. Xác định các hệ số a và b để đa thức
f x
( )
=
x
4
+
ax
2
+
b
chia hết cho
( )
2
3
2
g x
=
x
−
x
+
.
Tìm đa thức thương.
Cách 1. Phân tích
g x
( )
thành nhân tử:
( )
2
2
2
(
1) 2(
1)
(
1)(
2)
g x
=
x
− −
x
x
+ =
x x
− −
x
− = −
x
x
−
.
Nếu
f x
( )
chia hết cho
g x
( )
thì
f x
( )
chia hết cho
x
−
1
và chia hết cho
x
−
2
. Theo
định lí Bezout ta có:
f
(1)
=
0
và
f
(2)
=
0
.Thay
x
=
1;
x
=
2
vào
f x
( )
ta được : 1
+ + =
a b
0
và
16 4
+
a b
+ =
0
. Từ đó suy ra
a
= −
5,
b
=
4
.
Thực hiện phép chia đa thức
f x
( )
=
x
4
−
5
x
2
+
4
cho đa thức
x
2
−
3
x
+
2
ta được
thương
q x
( )
=
x
2
+
3
x
+
2
.
Cách 2. Lấy đa thức
f x
( )
chia cho đa thức
g x
( )
được đa thức dư
( )
(3
15)
2
14
r x
=
a
+
x b
+ −
a
−
và đa thức thương
q x
( )
=
x
2
+
3
x a
+ +
7
.
−
+
4
2
2
+
+
3
2
x
x
x
ax
b
+
+ +
4
3
2
2
3
7
x
x
a
x
x
x
+ −
+
x
a
x
b
3
(
2)
3
9
6
+
−
+
2
a
x
x
b
(
7)
6
+
−
+
+
+
a
x
a
x
a
(
7)
3(
7)
2(
7)
+
+ −
−
a
x b
a
(3
15)
2
14
Để
f x
( )
chia hết cho
g x
( )
thì dư
r x
( )
=
(3
a
+
15)
x b
+ −
2
a
−
14
phải đồng nhất bằng 0
tức là :
3
a
+
15
=
0
và
b
−
2
a
−
14
=
0
.Suy ra
a
= −
5,
b
=
4
. Khi đó đa thức thương
q x
=
x
+
x
+
.
Cách 3. Giả sử đa thức thương
q x
( )
=
x
2
+ +
cx d
. Ta có đồng nhất hai đa thức:
4
2
2
2
(
3
2)(
)
x
+
ax
+ ≡
b
x
−
x
+
x
+ +
cx d
.
Thực hiện phép nhân đa thức ở vế phải ta được:
4
2
4
3
2
x
−
ax
+ =
b
x
+ −
c
x
+
d
+ −
c x
+
c
−
d x
+
d
.
(
3)
(
2 3 )
(2
3 )
2
Từ đó suy ra :
c
− =
3
0,
d
+ −
2 3
c
=
a c
, 2
−
3
d
=
0,
b
=
2
d
.Hay
c
=
3,
d
=
2,
a
= −
5,
b
=
4
.
Vậy với
a
= −
5,
b
=
4
thì
f x
( )
chia hết cho
g x
( )
và đa thức thương
q x
( )
=
x
2
+
3
x
+
2
.
Dạng 7. TÌM DƯ TRONG PHÉP CHIA ĐA THỨC
• Dư trong phép chia đa thức
cho
là đa thức
v
ới bậc của
nh
ỏ hơn bậc của
(b
ậc
< b
ậc
).
• Dư trong phép chia
cho
là
. Để tính
ta dùng sơ đồ Horner (xem dạng 5).
Th
ật vậy, giả sử :
V
ới
ta có:
.
Ví dụ 14. Tìm dư trong phép chia đa thức :
a)
f x
( ) 1
= +
x
2
+
x
4
+
x
6
+
...
+
x
100
cho
x
+
1
;
b)
f x
( )
=
2
x
5
−
70
x
3
+
4
x
2
− +
x
1
cho
x
−
6
;
Giải
a) Dư trong phép chia
f x
( )
cho
x
+
1
là
f
( )
− =
1
51
.
b) Dư trong phép chia
f x
( )
cho
x
−
6
là
f
( )
6
=
571
.
2
0
−
70
4
−
1
1
6
2
12
2
16
95
571
Ví dụ 15.
Tìm dư trong phép chia đa thức
f x
( )
=
x
5
+ +
x
1
cho đa thức
g x
( )
=
x
3
−
x
.
Cách 1. Thực hiện phép chia đa thức
f x
( )
cho
g x
( )
ta được:
+ +
−
5
3
x
x
x
x
1
−
−
+
5
3
2
−
+ +
3
−
+
2
1
x
Do đó:
x
5
+ + =
x
1
(x
3
−
x
)(x
2
+ +
1
)2
x
+
1
. Vậy dư cần tìm là
2
x
+
1
.
Cách 2. Giả sử
f x
( )
=
(x
3
−
x q x
)( ) ( )
+
r x
. Vì bậc của
g x
( )
là
3
nên bậc của
r x
( )
không
quá
2
.
Đặt
r x
( )
=
ax
2
+
bx c
+
, ta có:
(
)(
) ( )
5
2
1
1
1
x
+ + =
x
x x
−
x
+
q x
+
ax
+
bx c
+
(1)
Lần lượt thay
x
=
0,
−
1, 1
vào (1) ta được: