N N N− −2 1 2 12 1 2 1
2
.
n
n
n
−
−
2
1
2
1
+ +
2
2
3
3
n
n
Để
−
2
1
n
là số nguyên thì
5
2
n
−
1
phải là số nguyên. Suy ra
2
n
−
1
là ước của 5. Ước của
5 bao gồm các số
±
1
,
±
5
.
Với
2
n
− = −
1
1
ta có
n
=
0
.
Với
2
n
− =
1 1
ta có
n
=
1
.
Với
2
n
− = −
1
5
ta có
n
= −
2
.
Với
2
n
− =
1
5
ta có
n
=
3
.
Vậy với
n
=
0; 1; -2; 3
thì
2
n
2
+
3
n
+
3
chia hết cho
2
n
−
1
.
Tóm lại
3
x
4
−
4
x
3
+ =
1
(
x
−
1
)
2
(3
x
2
+
2
x
+
1
).
•
Tìm các nghiệm của đa thức với một biến nào đó đã cho.
•
Áp dụng Định lý Bézout (dạng 3).
Để tìm dư trong phép chia
f x
( )
cho
x
−
α
và tìm đa thức thương
q x
( )
ta dùng các
cách sau:
+
Thay một giá trị đặc biệt của
x
gọi là phương pháp xét giá trị riêng.
+
Thực hiện phép chia đa thức
f x
( )
cho
f x
( )
.
+
Dùng sơ đồ Horner để tính các hệ số của đa thức thương và dư như sau:
Giả sử:
f x
( )
=
a x
n
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+ +
...
a x
1
+
a
0
;
( )
n
n
1
n
1
x
n
2
...
2
1
q x
=
b x
−
+
b
−
−
+ +
b x b
+
.
Các hệ số của
b
i
được tính như sau :
a
n
a
n
−
1
a
n
−
2
...
a
1
α
b
n
...
b
1
b
n
−
2
1
α
α
−
α
−
−
=
+
=
b
a
1
2
a
n
Dư là
λ α
=
b
1
+
a
0
.
Chẳng hạn, phân tích
f x
( )
=
3
x
4
−
4
x
3
+
1
thành nhân tử. Ta có
x
=
1
là nghiệm của
đa thức
f x
( )
vì
f
( )
1
=
0
nên
f x
( )
chia cho
x
−
1
. Thực hiện phép chia đa thức
( )
f x
cho
x
−
1
ta được thương
q x
( )
=
3
x
3
−
x
2
− −
x
1
hoặc dùng sơ đồ Horner như
sau:
3
−
4
0
0
1
1
3
−
1
−
1
−
1
0
Vậy
f x
( ) (
=
x
−
1 3
)
(x
3
−
x
2
− −
x
1
).
Ta lại có
q
( )
1
=
0
với
q x
( )
=
3
x
3
−
x
2
− −
x
1
nên
( ) (
1 3
)
(2
2
1
)q x
=
x
−
x
+
x
+
3
−
1
−
1
−
1
1
3
2
1
Dạng 5. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ
TRỊ RIÊNG
Phương pháp giải
Ví dụ 11. Phân tích thành nhân tử các đa thức sau bằng phương pháp xét giá trị riêng.
(
)
(
)
(
)
a P
=
ab a b
− +
bc b c
− +
ca c a
−
;
)
(2
2
) (2
2
) (2
2
)) Q=a
b
b
−
c
+
b c
−
a
+
c a
−
b
;
Giải
a
Nếu thay
a
bởi
b
thì
P
=
b
2
(
b b
− +
)
bc b c
(
− +
)
cb c b
(
−
)
=
0
nên
P
chia hết cho
a b
−
. Vì
vai trò của
a b c
, ,
như nhau trong đa thức nên
P
chia hết cho
(
a b b c c a
−
)(
−
)(
−
)
. Trong
phép chia đó, đa thức bị chia
P
có bậc ba đối với các biến, đa thức chia
(
a b b c c a
−
)(
−
)(
−
)
cũng có bậc ba đối với các biến nên thương là hằng số
k
. Trong hằng đẳng thức :
(
)
(
)
(
) (
)(
)(
)
ab a b
− +
bc b c
− +
ca c a
−
=
k a b b c c a
−
−
−
Ta cho các biến nhận các giá trị riêng
a
=
2, b=1, c=0
ta được: