5 + 55 + 555 + NE/ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG Q...

Bài 2: Tính tổng: 5 + 55 + 555 +

E/ỨNG DỤNG CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

CỦA MỘT VÀI DÃY SỐ ĐẶC BIỆT

Trong chương trình đại số 11, việc dạy khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân là một vấn đề lý

thú, chúng có nhiều ứng dụng trong thực tế và đa số học sinh đều lĩnh hội tốt các khái

niệm nàỵ Trong bài viết này ta sẽ đưa ra một ứng dụng của cấp số cộng, cấp số nhân để

tìm công thức tổng quát của một vài dãy số đặc biệt. Ta xét một số bài toán cụ thể như sau:

Bài toán 1. Dãy số (u

) có tính chất: U = U +d ∀ n ∈ N được gọi là một cấp số cộng

có công sai là d. Tìm (u

) theo u

và d.

Giảị Ta có: U=(U – U)+ (U- U)+...+(U – U)+ U =d+d+d+...+d+ U =Ư(n-1)d

Bài toán 2. Tính tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u

), công sai d

Giải : Ta có :

Ư U=U-d+ Ưd= Ư U=...= Ư U Với n=1,2,3...

Vậy Ư Ư U +....+ U = [(Ư U)+(Ư U)+....+(Ư U)]= n(Ư U)

Hay Ư Ư U +....+ U = [Ư(n-1)d]

Bài toán 3: Dãy số (U) có tính chất U= Uq, ∀ n ∈ N được gọi là một cấp số nhân có

công bội q. Tìm (U) theo U và q.

Giải :

Ta có : U = Uq= Uq= ...= Uq

Bài toán 4 : Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (U) công bội q ≠ 1

Ta có : (1-q)(Ư Ự...+ U)= (Ư Ự...+ U)- (Ư Ự...+ U)= U- U

= U- Uq = U(1- q) ⇒ Ư Ự...+ U= U

Bài toán 5 : Cho U=1, U=2 U +1. Tìm U

Giải : Trong bài toán này ta bị lúng túng ngay bởi vì đây không phải là cấp số cộng hay

cấp số nhân đã biết. Vậy có cách nào để tìm U không ? Làm thế nào để mất số 1 ở vế

phải để được một cấp số nhân ?

Ta viết lại : Ư1=2(Ư1) Và thấy rằng nếu thay U +1 = V thì (V) là một cấp số

nhân. Từ đó ta có : V = V 2 = 2 ⇒ U = 2 -1.

Bài toán 6 : Cho U=1, U- U = n+1. Tìm U .

Giải : Ta viết : n+1=(n+1)[ăn+1)+b]-n(an+b). Đồng nhất các hệ số theo n ta tìm được

a=b= ⇒ U- (n+1)(n+2)= U- n(n+1)

Đặt V= U- n(n+1) ⇒ V=1-1=0. Từ V = V ∀ n ⇒ V =0 hay U= n(n+1)

Mặt khác U=(U- U)+(U- U)+...+(U- U)+ U, ta được :

n+(n-1)+(n-2)+...+2+1= n(n+1)

Chú ý : Bằng cách làm tương tự ta tính được tổng : S= 1+ 2+...+ n

Bài toán 7 : Tìm dãy (U) có tính chất U- U = (n+1) , ∀ n ∈ N

Giải : Ta viết : (n+1) =a[(n+1)– n]+ b[(n+1) - n]+ c[(n+1)-n]

Cho n các giá trị 0, 1, 2 ta được hệ phương trình

+ + =

  + + =

a b c 1

7a 3b c 4

  + + =

. Giải hệ ta được : a= ; b= ; c=

19a 5b c 9



Từ đó : U- (n+1)(n+2)(2n+3)= U – n(n+1)(2n+1)

Đặt V =U – n(n+1)(2n+1) ta được V = V ∀n hay V = V ∀n

⇒ U = n(n+1)(2n+1)+ V = n(n+1)(2n+1)+ U-1

U = (U – U)+(U- U)+...+(U- U)+ U= n+(n-1)+...+ 2+ U

Vậy n+(n-1)+...+ 2+ 1= n(n+1)(2n+1).

Bài toán 8 : Cho U=1 ; U-3U=2 , ∀n ∈ N . Tìm (U).

Giải :

Tìm hằng số α sao cho 2 =α 2– 3α 2 . Ta được α =-1

U + 2 =3(U + 2 ). Đặt V = U + 2 ta được : V =3 V , V =3 ⇒ V = 3

Vậy U = 3 - 2

Bài toán 9 : Cho U=1, U= ∀ n ∈ N . Tính (U )

Giải : Từ giả thiết ta có : = +2. Đặt V= ta được V = V +2, V =1

⇒ V =1+(n-1)2=2n-1 ⇒ U =

Bài toán 10 : Cho U =1, U =2, U-3Ư2U=2n-1, ∀ n ∈ N . Tìm (U)

Giải : Viết lại (U- U)- 2(U- U)=2n-1

Đặt V=U- U, ta được : V-2V=2n-1=[-2(n+1)-1]-2(-2n-1)

⇒ V +2n+3=2(V +2n+1), V =1

Đặt W =V +2n+1 ta được : W=2 W, W=V+3=4 ⇒ W = 2

⇒ V= 2-2n-1 ⇒ U – U = 2-2n-1 ⇒ U – U = 2 -(2n-1)

U =(U – U)+(U – U)+....+(U- U)+ U= 2+ 2+....+ 2-[(2n-1)+(2n-3)+...+3]+1

= 2–n-2