1, 23 8X T    Y T1 35 3 1 3 1 2X  Y  Z  X  Y  Z 2 4 3 ,...

1

,

2

3 8

x t

  

  

y t

1 3



5 3 1 3 1 2

x  y  z  x  y  z 

2 4 3 , 2 3 4

   

  

2 4

z t

3 x  12 y  3 z  5 0,3  x  4 y  9 z   7 0



Ví dụ: Viết ptđt song song với các mặt

 

phẳng và cắt các đường thẳng . (ĐS: )Dạng 6: Viết ptđt d qua A, vuông góc với đương thẳng a và cắt đường thẳng b.

6

 

 

2

1 1 3

x  y  z 

x  y  z 

1 2 3

 

  

A  

3

 ^{1; 2; 3} 

3 2 5

2 3 6





Ví dụ: Viết ptđt d qua , vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng . (ĐS: )Dạng 7: Viết ptđt d chứa điểm A, song song với mp(P) và cắt đường thẳng b.

3 2 4

2 4 1

x  y  z 

A   3 x  2 y  3 z  7 0 

 ^{3; 2; 4} 

5 6 9

3 2 2

Ví dụ: Viết ptđt qua song song với mp(P):và cắt đường thẳng . (ĐS: )Dạng 8: Viết ptđt d nằm trong mp(P) cắt cả hai đường thẳng a, b.

x t x t

   

 

 

1 2 ; 4 3

y t y t

   

 

1 1 1

     

z t z t

1 3 4

2 x  3 y  6 z  11 0 

 



Ví dụ: Viết ptđt d nằm trong mp(P): và cắt cả hai đường thẳng (ĐS: )

A    P  d 

Dạng 9: Cho mp(P), đường thẳng d. Gọi . Viết ptđt nằm trong mp(P) đi qua điểm A và vuông góc với d.

x t

1

y

x y z

d    P x y z

: ; : 2 2 9 0

1 3 3  

     

  

4

1 2 1



Ví dụ(A-2005): Cho . Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết ptđt nằm trong (P), biết

 

đi qua A và vuông góc với d. (ĐS: ).

x  y  z 

: ; : 2 5 0

d    P x z

1 2 3  

    

2 3 4

1 2 2



Ví dụ: Cho . Tìm tọa độ giao điểm A của d và (P). Viết ptđt nằm trong (P), biết đi qua A và vuông góc với d. (ĐS: ).Dạng 10: Viết pt đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.Ví dụ: Viết pt đường vuông góc chung của hai đường thẳng:

7 3 1

5 2

4 2 ; 8 2

   

  

_{(ĐS: )}

     

4 3 12

   

¹

,

²

x  2 y z    1 0

Dạng 11: Viết ptđt vuông góc với mp(P) và cắt cả hai đường thẳng .Ví dụ: Viết ptđt vuông góc với mp(P): và cắt các đường thẳng



1 2

  



1 1 2 2 1

x  y  z  x  y z 

2 1 1 , 1 1 2

 

_{. (ĐS: ).}Dạng 12: Cho điểm A và đường thẳng d. Viết ptđt đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.

3 2

4 2 4

x  y  z 

  

1 4

 ^{4; 2; 4} 

3 2 1





Ví dụ (B-2004): Viết ptđt đi qua , d: . Viết ptđt đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. (ĐS: )PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU (ptmc)Dạng 1: Viết ptmc qua bốn điểm.

A B C D x

²

 y

²

 z

²

 x y z    0

Ví dụ: Viết ptmc đi qua bốn điểm . (ĐS: ).

 ^{0;0;0 ,}   ^{1;0;0 ,}   ^{0;1;0 ,}   ^0;0;1 

Dạng 2: Viết ptmc có tâm I và tiếp xúc với mp(P).

 ^{x  1} 

²

^  ^{y  2} 

²

^  ^{z  3} 

²

^{ 1}

Ví dụ: Viết ptmc có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mp(Oyz). Tìm tọa độ tiếp điểm.(ĐS: . Tiếp điểm (1;0;3)).

16 x  15 y  12 z  75 0  x

²

 y

²

 z

²

 9

Ví dụ: Viết ptmc có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mp . (ĐS: ).

C   2 x y   3 z  11 0   ^{x  3} 

²

^  ^{y  5} 

²

^  ^{z  2} 

²

^{ 56}

Ví dụ: Viết ptmc có tâm là và tiếp xúc với mp . (ĐS: ).

 ^{3; 5; 2} 

0

x

5 3

I 

 ^{1; 2;3} 



Dạng 3: Viết ptmc tâm I, tiếp xúc với đường thẳng d. Tìm tọa độ tiếp điểm.Ví dụ: Viết ptmc tâm và tiếp xúc với đường thẳng (ĐS: Tiếp điểm (0;1;2);

 ^{x  1} 

²

^  ^{y  2} 

²

^  ^{z  3} 

²

^{ 11}

_{ptmc ).}Dạng 4: Viết ptmc tâm I, cắt đường thẳng d tại A, B sao cho AB=k (k>0).

2 2 3

: 2 3 2

  

  ^x

²

^{ y}

²

^  ^{z  2} 

²

^{ 25}

Ví dụ (A-2010): Cho A(0;0;-2), đường thẳng . Tính khoảng cách từ A đến . Viết ptmc tâm A, cắt tại hai điểm B, C sao cho BC=8. (ĐS: d=3; ptmc )

: 4 3 1

d   

 ^I  ^{1; 2; 3 }  _{AB  26}

Ví dụ (CĐ-2011): Cho . Viết ptmc có tâm và cắt d tại hai điểm A, B sao cho .

 ^{x  1} 

²

^  ^{y  2} 

²

^  ^{z  3} 

²

^{ 25}

_{(ĐS ).}Dạng 5: Viết ptmc tâm I cắt mp(P) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r. Tìm tâm H của đường tròn giao tuyến.

I  x  2 y  2 z   1 0 _{2 2}

Ví dụ: Viết ptmc tâm và cắt mp theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng .

 ^4;1;1 

 ^{x  4} 

²

^  ^{y  1} 

²

^  ^{z  1} 

²

^{ 9}

_{(ĐS: ).}

2 x y   2 z  10 0 

Ví dụ (D-2012): Cho mp (P): và I(2;1;3). Viết ptmc tâm I và cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng 4.

 ^{x  2} 

²

^  ^{y  1} 

²

^  ^{z  3} 

²

^{ 25}

_{(ĐS: ).}Dạng 6: Viết ptmc có tâm I thuộc đường thẳng d và tiếp xúc với mp(P) tại H.

  

:

d y t

 2 x y z     5 0 ^H  ^{ 1;3;0}   ^{x  3} 

²

^  ^{y  1} 

²

^  ^{z  2} 

²

^{ 24}

Ví dụ: Viết ptmc có tâm I thuộc và tiếp xúc với mp(P): tại . (ĐS: ).Dạng 7: Viết ptmc có tâm I thuộc đường thẳng a, tiếp xúc với đường thẳng d tại H.

2 2

 

y t



Ví dụ: Viết ptmc có tâm I thuộc a: và tiếp xúc với đường thẳng d:tại H(3;1;0).

( ) 2;0;1

I   a P  I  ^{x  2} 

²

^{ y}

²

^  ^{z  1} 

²

^{ 3}

Hướng dẫn: Viết ptmp (P) chứa H và vuông góc với d. Tâm . Ptmc: ).

 

Dạng 8: Viết ptmc có bán kính R tiếp xúc với mp(P) tại M.

2 x  6 y  3 z  49 0  ^M  ^{2; 6;3 } 

Ví dụ: Viết ptmc có bán kính R=7 và tiếp xúc với mặt phẳng tại .(ĐS: Tâm (4;-12;6), (0;0;0) ).Dạng 9: Viết ptmc có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

x  y  z  x  y  z 

7 3 9 3 1 1

1 2 1 , 7 2 3

   ^{x  5} 

²

^  ^{y  2} 

²

^  ^{z  5} 

²

^{ 21}

Ví dụ: Viết ptmc có đường kính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau: (ĐS: Đoạn vuông góc chung AB, với A(7;3;9), B(3;1;1). Ptmc: .Dạng 10: Viết ptmc có tâm I thuộc d và qua hai điểm A, B.

x  y z

2 1 2

 ^A  ^{2;1;0 ,}  ^B  ^{ 2;3; 2} 

Ví dụ: Cho d: và hai điểm . Viết ptmc đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.

 ^{x  1} 

²

^  ^{y  1} 

²

^  ^{z  2} 

²

^{ 17}

_{(ĐS: ).}Dạng 11: Viết ptmc có tâm I thuộc mp(P), tiếp xúc với mp(Q) tại M.

2 8 0

x y   z   2 x y z     5 0 ^M  ^{ 1;3;0} 

Ví dụ: Viết ptmc có tâm I thuộc mp(P): , tiếp xúc với mp(Q): tại .

 ^{x  3} 

²

^  ^{y  1} 

²

^  ^{z  2} 

²

^{ 24}

_{(ĐS: ).}Dạng 12: Viết ptmc tiếp xúc với hai mặt phẳng song và biết 1 tiếp điểm.

6 x  3 y  2 z  35 0,6  x  3 y  2 z  63 0  ^M  ^{5; 1; 1  }   ^{x  1} 

²

^  ^{y  2} 

²

^  ^{z  1} 

²

^{ 49}

Ví dụ: Viết ptmc tiếp xúc với hai mặt phẳng song nếu là tiếp điểm của mặt cầu với một trong các mặt phẳng này. (ĐS: )

3 x  2 y  6 z  15 0,3  x  2 y  6 z  55 0 

Bài tập bổ trợ: Tính bán kính R của mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng (ĐS: R=5)BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ MẶT CẦU

x y 1 z 2

 



Cho mặt phẳng (P): và đường thẳng d: . Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng