N A M FGT I . .. K D B H...

Bài 4:

N

A

M F

GT

I

. .

.

_K

_D

B H O E C

.

KLChứng minhPhần 1:a) Vì ^ANC nội tiếp đờng tròn (K) có AC là đờng kính=> ^ANC vuông tại N =>

^

^{NAC NCA}

^

^

^

^{90 (1)}

⁰

Ta có:

^

MAB BAC CAN



^



^



¹⁸⁰

⁰

Mà

^

^BAC

^

⁹⁰

⁰

(^ABC nội tiếp đ.tròn (O; BC/2))=>

^{MAB CAN}

^

^

^

^

⁹⁰

⁰

(2)Từ (1) và (2) =>

^

^{NCA MAB}

^

^

(cùng phụ với

^

^NAC

)Vì ^AMB nội tiếp đờng tròn (I) có AB là đờng kính=>^AMB vuông tại MXét 2 tam giác vuông CNA và AMB, có:





NCA MAB



(cm trên)=> ^CNA đồng dạng^AMB (g.g)b) Ta có: ^CNA đồng dạng^AMB

AC

AB

=> Tỉ số đồng dạng là: k =

S

3

ANC

S



Theo đề bài, ta có: S

CNA

= 3.S

AMB

=>

BMA

S

k

ANC

2

Mặt khác:

AB

=

³

=> k

²

= 3 =>

^k

^

³

=> Vì ^ABC nội tiếp đ.tròn (O) có BC là đờng kính=> ^ABC vuông tại A =>

^

^A

^

⁹⁰

⁰

AB

=

³

=>

^B

^

^

⁶⁰

⁰

=>

^C

^

^

³⁰

⁰

Xét^ABC vuông tại A, ta có: tan B = Phần 2:a) Từ A, kẻ

^AH

^

^{BC H}

⁽

^

^BC

⁾

Trong ^DEC vuông tại E có:





90

⁰

EDC DCE





Mà

^

^EDC

^

^

^ADE

(đối đỉnh)=>

^

^{ADF DCE}

^

^

^

⁹⁰

⁰

^

^

^{ADF ACB}

^

^

^

^{90 (3)}

⁰

Trong ^ABC vuông tại A có:

^

^{ABC ACB}

^

^

^

^{90 (4)}

⁰

Từ (3) và (4) =>

^

^ADF

^

^

^ABC

^

^

^ADF

^

^

^ABH

Xét ^AHB và ^AFD có:





90 (

⁰

;

)

AHB



AFD



AH



BC AF



DE

AB = AD (gt)

ABH



ADF

(cm trên)=> ^AHB = ^AFD (c.huyền – g.nhọn)=> AH = AFXét tứ giác AFEH có:



0

90 (

)

F

AF

DE





E

DE

BC

H

AH

BC

=> AFEH là hình chữ nhậtMà AH = AF (cm trên)=> AFEH là hình vuôngHình vuông AFEH có AE là đờng chéo =>

^

^AEH

^

⁴⁵

⁰

^

^

^AEB

^

⁴⁵

⁰

Trong ^ABC vuông tại A, đờng cao AH có:

1

1

1

2

2

2

AB



AC



AF

(Hệ thức về cạnh, đờng cao trong tam giác vuông)Mà AB = AD (gt) và AH = AF (cm trên)

AD



AC



AF

=>

²

²

²

(đpcm)Vì

^

^AEB

^

⁴⁵

⁰

=> cos AEB = 1Ta có ^ABH vuông tại H => AH < ABMà AH = AF

AF

AF

AB

 

AB



AEB

=> AF < AB =>

¹

^cos

Ta có: AF < AB (cm trên) và AB < AC (gt)

1

cos

AC

 

AC



AEB

=> AF < AC =>