CHO ĐIỂM C THUỘC ĐOẠN THẲNG AB SAO CHO AC = 10 CM, CB = 40 CM....
Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm. Vẽ về một phía của AB các nửa
đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K.
E
N
3
H
1
2
1
M
A
I
C
O
K
B
Đờng vuông góc với AB tại C cắt nửa đờng tròn (O) tại E. Gọi
M. N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K).
a) Chứng minh EC = MN.
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K).
c) Tính MN.
d) Tính diện tích hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn
Lời giải:
1. Ta có: BNC= 90
0
( nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm K)
=> ENC = 90
0
(vì là hai góc kề bù). (1)
AMC = 90
0
( nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm I) => EMC = 90
0
(vì là hai góc kề bù).(2)
AEB = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng tròn tâm O) hay MEN = 90
0
(3)
Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật )
2. Theo giả thiết EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (I) và (K)
=> B
1
= C
1
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN). Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C
1
= N
3
=>
B
1
= N
3
.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân tại K => B
1
= N
1
(5)
Từ (4) và (5) => N
1
= N
3
mà N
1
+ N
2
= CNB = 90
0
=> N
3
+ N
2
= MNK = 90
0
hay MN
KN tại N => MN là tiếp tuyến của (K) tại N.
Chứng minh tơng tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của (I) tại M,
Vậy MN là tiếp tuyến chung của các nửa đờng tròn (I), (K).
3. Ta có AEB = 90
0
(nội tiếp chắn nửc đờng tròn tâm O) => AEB vuông tại A có EC AB (gt)
=> EC
2
= AC. BC
EC
2
= 10.40 = 400 => EC = 20 cm. Theo trên EC = MN => MN = 20 cm.
4. Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm
Ta có S
(o)
=
.OA
2
=
25
2
= 625
; S
(I)
=
. IA
2
=
.5
2
= 25
; S
(k)
=
.KB
2
=
. 20
2
= 400
.
1
2
( S
(o)
- S
(I)
- S
(k)
)
Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S =
2
( 625
- 25
- 400
) =
2
.200
= 100
314 (cm
2
)
S =