CHO TAM GIÁC ABC VUÔNG Ở A. TRÊN CẠNH AC LẤY ĐIỂM M, DỰNG ĐỜN...
Bài 15 Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC. đ-
ờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) tại D. đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) tại S.
Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp .
Chứng minh CA là tia phân giác của góc SCB.
Gọi E là giao điểm của BC với đờng tròn (O). Chứng minh rằng các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy.
Chứng minh DM là tia phân giác của góc ADE.
Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE.
Lời giải:
a. Ta có CAB = 90
0
( vì tam giác ABC vuông tại A); MDC = 90
0
( góc nội tiếp chắn nửa đ-
ờng tròn ) => CDB = 90
0
nh vậy D và A cùng nhìn BC dới một góc bằng 90
0
nên A và D
cùng nằm trên đờng tròn đờng kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp.
b. ABCD là tứ giác nội tiếp => D
1
= C
3
( nội tiếp cùng chắn cung AB).
D
1
= C
3
=>
SM EM
=> C
2
= C
3
(hai góc nội tiếp đờng tròn (O) chắn hai cung bằng nhau)
=> CA là tia phân giác của góc SCB.
3. Xét CMB Ta có BACM; CD BM; ME BC nh vậy BA, EM, CD là ba đờng cao của tam giác CMB
nên BA, EM, CD đồng quy.
4. Theo trên Ta có
SM EM
=> D
1
= D
2
=> DM là tia phân giác của góc ADE.(1)
5. Ta có MEC = 90
0
(nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) => MEB = 90
0
.
Tứ giác AMEB có MAB = 90
0
; MEB = 90
0
=> MAB + MEB = 180
0
mà đây là hai góc đối nên tứ giác
AMEB nội tiếp một đờng tròn => A
2
= B
2
.
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A
1
= B
2
( nội tiếp cùng chắn cung CD)
=> A
1
= A
2
=> AM là tia phân giác của góc DAE (2)
Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE
TH2 (Hình b)
Câu 2 : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS
=>
CE CS
SM EM
=> SCM = ECM => CA là tia phân giác của góc SCB.