Câu 9a (1,0 điểm) Tìm hệ số của x
3 trong khai triển Niutơn của biểu thức ( 2+2 x − x
2− x
3)
n biết
rằng:
0− 1
C
nn+ 1 C
nn= 1
13
3 C
n2−. ..+ (− 1)
n 1
2 C
n1+ 1
Cách 1. { Dựa vào tích phân}
Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có: ( 1+ x )
n=C
n0+C
n1x+C
n2x
2+. ..+ C
nnx
nLấy tích phân 2 vế với cận từ −1 đến 0 ta được:
0n+10+ C
n1x+ C
n2x
2+. ..+C
nnx
n) dx ⇒ ( 1+ x )
(1+ x )
ndx= ∫
∫
−1( C
nn+1 ¿
−01= ( C
n0x+ C
n1x 2
2+ C
n2x
33 +. ..+ C
nn x
n+1n+1 ) ¿
−10−1⇒ 1
n+1 =C
n0− 1
2 C
1n+ 1
3 C
n2−. .. +(− 1 )
n 1
n+ 1 C
nn=
gt 1
13 ⇒ n=12
k= 1
Cách 2. { Dựa vào đẳng thức quen thuộc: k 1 +1 C
nn+ 1 C
n+1k+1 }
Ta có: k 1
k +1 . n !
n+1 . n! . (n+ 1)
n+1 . ( n+ 1)!
n+1 C
n+k+11(n− k ) ! (k +1 ) ! = 1
+ 1 C
nk= 1
( n− k ) !k ! = 1
( n− k ) !k ! ( k +1) = 1
1 − C
n2+1+ C
n3+1− . . .+ ( −1)
nC
nn+1+1) (1)
Do đó ta có: C
n3 C
n2− . ..+ (− 1)
n 1
n+1 C
nn= 1
n+ 1 ( C
n+1Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có: ( 1+ x )
n+1=C
n+10 +C
n+11 x+C
n+12 x
2+. . .+ C
nn+1+1x
n+1 với ∀ x ∈ R
Thay x=−1 vào đẳng thức trên ta thu được:
0
n+1=C
n+10 − C
n1+1+ C
n2+1− .. .+( −1)
n+1C
n+1n+1⇔C
1n+1− C
n2+1+ C
n3+1− . . .+ ( −1)
nC
nn+1+1=C
n+10 =1 (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: C
nn+1 ⇔ 1
13 = 1
n+1 ⇔ n=12
Bài toán đã cho trở thành tìm hệ số x
3 trong khai triển ( 2+2 x − x
2− x
3)
12Ta có ( 2+ 2 x − x
2− x
3)
12=( 1+ x )
12( 2− x
2)
12 , do đó số hạng tổng quát của khai triển
( 2 +2 x − x
2− x
3)
12 là:
C
12k x
kC
12l .2
12−l( − x
2)
l=C
12k . C
12l .2
12−l( −1 )
l. x
k+2l với k , l là các số nguyên thỏa 0 ≤ k ,l ≤12
Để có x
3 thì k + 2 l=3 , từ đó ta tìm được: k =3 ,l=0 hoặc k =1, l=1
Do đó hệ số của x
3 trong khai triển ( 2+2 x − x
2− x
3)
12 là: C
123.C
120. 2
12−C
121C
121.2
11=76 .2
11B.Theo chương trình Nâng cao
Bạn đang xem câu 9 - DINH CAO CUA DAP AN THI THU DAI HOC
