CHO TAM GIÁC ABCCÓ BA GÓC NHỌN VÀ ABAC. CÁC ĐƯỜNG CAOBE CF,...

Bài 4. Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn và ABAC. Các đường caoBE CF, cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MH lấy điểm K sao cho HM =MK. a/ Chứng minh: tứ giác BHCKlà hình bình hành. b/ Chứng minh BK⊥ AB và CK⊥AC. c/ Gọi I là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tứ giác BIKC là hình thang cân. d/ BKcắt HI tại G. Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì để tứ giác GHCK là hình thang cân. Lời giải

A

E

H

F

N

M

C

B

G

I K

a) Tứ giác BHCK, có: MH =MK(Vì Mlà trung điểm của BC) và MB=MC(Vì Hvà Kđối xứng nhau qua M ) Mà BCvà HKlà hai đường chéo của tứ giác BHCKSuy ra tứ giác BHCKlà hình bình hành (dhnb). b) Vì tứ giác BHCKlà hình bình hành: Ta có HB CK// và BH ⊥AC suy ra CK⊥AC. HC BK và CH⊥AB suy ra BK ⊥AB. //c) Gọi Nlà giao điểm của HI và BC. Xét HIK: Ta có M là trung điểm của HK, Nlà trung điểm của HI(Vì I là điểm đối xứng với Hqua BC) MN là đường trung bình của HIKMN IK// BC IK//Ta có: Hvà I là hai điểm đối xứng nhau qua BCBClà đường trung trực của HI CH =CIMà CH=KB(Vì tứ giác BHCKlà hình bình hành) CI =KBXét tứ giác BIKCcó: ^{BC IK//}

(

^cmt

)

^{và CI =KB}

(

^cmt

)

^{ tứ giác BIKC}là hình thang cân. d) Hình thang GHCKlà hình thang cân khi GHC=HCK GHC=CHE(vì CHE=HCK : so le trong,CK HE// )   =   =  là phân giác của ACB (1) HNC HEC HCN HCE CHMà CH là đường cao của ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra ABC cân tại C