CHO HÀM SỐ KHẲNG ĐỊNH NÀO DƯỚI ĐÂY SAI
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
3
Ví dụ 1: Tính
lim 2 5
x
x x
Lời giải
2
3
5
f x x x
Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị của tại một điểm cĩ giá trị âm rất
x 10
20
nhỏ (do ta đang xét giới hạn của hàm số khi ), chẳng hạn tại . Máy hiển thị
kết quả như hình:
Đĩ là một giá trị dương rất lớn. Vậy chọn đáp án C , tức .
2 x 5 x x 2 5
3
3
Cách 2: Ta cĩ .
2
x
lim
3
3
Vì và nên .
lim 2 5
2
2 0
x
x
x
x
lim 2 5 lim 2 5
3
3
2
Vậy theo Quy tắc 1, .
x
x x
x
x
4
2
Ví dụ 2: Tính
lim 3 2 1
Cách 1: Theo nhận xét trên thì ( chẵn và ).
x , k a
k 0
2 1
4
2
4
3 x 2 x 1 x 3 .
Thật vậy, ta cĩ
2
4
x x
lim
4
Vì và nên .
x
lim 3
x
4
2 x
2
1
lim 3 2
2
1
4
3 0
x
x x
Nhận xét:
- Giới hạn tại vơ cực của hàm đa thức là vơ cực, chỉ phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc
cao nhất.
- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào hệ số của lũy thừa bậc cao nhất.
(Giống với giới hạn của dãy số dạng đa thức).
- Giới hạn của hàm đa thức tại phụ thuộc vào bậc và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất.
3
4
2
2
1
f x x x x 10
20
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số tại , ta được
kết quả như hình :
Kết quả là một số dương rất lớn. Do đĩ chọn đáp án A,
2
2 5
f x x x
Ví dụ 3: Cho hàm số . Tính
x
lim
f x
f x x x
Hàm số xác định trên .
2
2 5
x x x
Cĩ thể giải nhanh như sau : Vì là một hàm đa thức của nên cĩ giới hạn tại
2
2 5 0
x x x f x x
2
2 x 5
vơ cực. Mà với mọi nên giới hạn của tại
chắc chắn là .
2 5 2 5
2
2
x x x x
2 5 1 1
Thật vậy, ta cĩ .
x
lim x
lim 1 1 0
Vì và nên .
2 5
2
x
x x lim
2
2 5
f x x
Hoặc ta cĩ thể sử dụng MTCT để tính giá trị của tại một giá trị âm rất nhỏ của ,
10
20
x
chẳng hạn tại ta được kết quả như hình:
Kết quả này là một số dương rất lớn. Do đĩ ta chọn đáp án B. (Dễ thâý kết quả hiển thị
trên máy tính như trên chỉ là kết quả gần đúng do khả năng tính tốn hạn chế của MTCT.
Tuy nhiên kết quả đĩ cũng giúp ta lựa chọn được đáp án chính xác).
Lưu ý:
Ta cĩ .
x x 0
Khi thì .
0
x x
2
x
Với ta cĩ .
Cần đặc biệt lưu ý các điều trên khi tính giới hạn tại của hàm chứa căn thức.
Ví dụ 4:
x
lim x
2
x 4 x
2
1
Cách 1: Ta cĩ:
1 1 1 1
2
2
2
2
x x x x x x x
4 1 1 4 1 4
1 1
1 4
x x x
Mà và .
lim 1 1 4 1
2
1 2 1 0
2
2
1 1
2
Vậy .
lim 4 1 lim 1 4
x
x x x
x
x
- Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số cĩ chứa căn thức để hiểu hơn tại sao lại cĩ
định hướng giải như vậy (mà khơng đi nhân chia với biểu thức liên hợp).
lim ; lim 4 1
- Cĩ thể thấy như sau: Vì .
x
2
4 x
2
1 x
2
x
2
x
Mà hệ số của trong lớn hơn hệ số của trong nên suy ra
2
2
lim 4 1
.
x
x x x
10
10