2III – PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX PH NG TRÌNH CÓ D NG

5, 2III – Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Ph ng trình có d ng : acosx + bsinx = c (1) trong đó aươ ạ

²

+ b

²

 0 + N u aế

²

+ b

²

< c

²

thì (1) vô nghi m + N u aệ ế

²

+ b

²

 c

²

thì (2) có nghi mệ 

2

2

a b x c   

2

a

2

cos

2

b

2

sinxa b a b  Đặt th a s chung v trái cho ừ ố ế

^a

²

^

^b

²

  (2)

a

sin b a b (2) 

√

^a

²

^+b

²

^{. cos(x −ϕ)} = c v i ớ

^cos

^ϕ=



√

^a

²

^+b

²

^,

²

²

c   a b

sin

a

 

a

b

(2) 

√

^a

²

^+b

²

^{. sin(x+ϕ)} = c v i ớ

²

²



, os

²

b

²

Chú ý: + acosx + bsinx = 0 chia hai vế cho cosx  a + btanx = 0 + acosx + bsinx =

^a

²



^{b c}

²

^os

: ta biến đổi vế trái về dạng

√

^a

²

^+b

²

^{. cos(x −ϕ)} ₌

2

2

os

a



b c





Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a) sin 3x 3 os3c x1 b) 3cos2x – 4sin2x = 5 c) 2sin 5x 3 os3c xsin 3x0, 22 2k kx  k x  k18 3 , 2 3x   x         24 4 3 c, b, 2 k ĐS: a,



Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình bậc nhất sinx và cosx.x 2 x  b)sin 8x cos 6x 3 sin 6 xcos8x a) 3 sin 2 sin 2 13 2        x x  x 62 d) 3 cos 2 sin 2 2sin 2 2 2   =   + sinx 4 c) 2sinx 4x  k x  kx  k x  k          4 84 7 ĐS: a, x 3 k d,x 2 k b, , c, 2 , 2 2



Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a) cosx 3 sinx 2 b)

^sin

^x

^

^{c s}

^{o x}

^

^{2 sin 5}

^x

c) 2sin

²

x 3 sin 2x3 3 18cosx sin cos   x 3 xx x e) cosx + 3 sin 2 cos 0 d) 7 2 , 25    16 2 8 312 12x 12 k ĐS: a, b, , 12 2 3 d, , e, x 6 kIV - Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx Dạng : a.cos

²

x + b.sinx.cosx + c.sin

²

x = dCách 1: Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?sin

2

1 sin 1.      x 2 k x xLưu ý: cosx = 0  Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho

^cos

²

^x

^

⁰

ta được:

.tan

.tan

(1 tan

)

a

x b



x c





d



x

 Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:

(

a d t



)

2



b t c d

.

 



0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậcx x x1 cos 2 sin 2 1 cos 2a  b c  d(1) . . .   2 2 2.sin 2 ( ).cos 2 2b x c a x d a c      (đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)



Ví dụ : Giải các phương trình sau: a) 2sin

²

x – 5sinx.cosx – cos

²

x = - 2 b) 3sin

²

x + 8sinxcosx + ( 8

√

³ - 9)cos

²

x = 0 c) 4sin

²

x +3

√

³ sin2x – 2cos

²

x = 4 d) 6sinx – 2cos

³

x = 5sin2x.cosx., arctan 8 3, arctan( )1x  k x k        3 3 b, S: a, Đ4 4 c, ^{x 2 k , x 6 k} d, ^{x 4 k}



Bài tập tương tự: Giải các phương trình sau: a) sin

²

xsin 2x 2cos

²

x1 / 2 b)sin xsin 2x 3cos x0 c) sin

²

x+3 sinxcosx=1 ĐS: a,x / 4k,xarctan( 5) k b,x / 4k,xarctan( 3) k c, x / 2k,xarctan(1/ 3)kV- Các phương trình lượng giác khác.