CÂU 2. XÉT ABC CÓ TRUNG TUYẾN 1 1 .AM BCAM MB MC   BC2 2 ...

3 .BM CN  2BC khoảng bằng 23 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Hướng dẫn giải Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và Bước 1. Xác định trọng tâm nằm trên đường trung CN cắt nhau tại G. Suy ra G là trọng tâm tam giác tuyến nào. ABC Bước 2. Sử dụng linh hoạt tỉ lệ khoảng cách từ 2 ; 2trọng tâm đến hai đầu đoạn thẳng trung tuyến. BG BM CG CN   3 3Trang 2 3 ; 3 .BM BG CN CG2 2Do đó ta phải chứng minh 3 3 32BG2CG2BChay ^{BG CG BC  . 1}

 

Bất đẳng thức

 

¹ luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Vậy 3 .BM CN 2BC (điều phải chứng minh). Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. a) Chứng minh BD CE . b) Chứng minh tam giác GBC là tam giác cân. c) Chứng minh 1 .GD GE  2BC a) Ta có ABC cân tại A AB AC mà AB2 ;BEAC  CD (vì E, D theo thứ tự là trung điểm của AB, 2AC). Do đó ta có 2BE2CD hay BE CD . Xét BCE và CBD có BE CD (chứng minh trên); EBC DCB  ; BC là cạnh chung. Do đó BCE CBD (c.g.c) CE BD  (hai cạnh tương ứng). b) Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên 2BG 3BDvà 2CG3CE (tính chất trọng tâm). Mà CE BD (phần a) nên 2 23CE 3BD hay CG BG .Vậy tam giác GBC cân tại G. c) Ta có Trang 3 2 1 2 1GB BDGD BDGB GDGD GB 3 3 2Chứng minh tương tự, ta có 1 .GE2GC Do đó ^{GD GE 1}₂^GB1₂^GC1₂



^{GB GC}



^. Mà GB GC BC  (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại). Do đó 1GD GE 2BC (điều phải chứng minh). Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm G sao cho BG2GC. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi E là trung điểm của BD. Chứng minh a) Ba điểm A, G, E thẳng hàng. b) Đường thẳng DG đi qua trung điểm của AB. a) Xét tam giác ABD có C là trung điểm của cạnh AD  BC là trung tuyến của tam giác ABD. Hơn nữa G BC và 2 2GB GCGB3BC G là trọng tâm tam giác ABD. Lại có AE là đường trung tuyến của tam giác ABD nên A, G, E thẳng hàng. b) Ta có G là trọng tâm tam giác ABD DG là đường trung tuyến của tam giác này. Suy ra DG đi qua trung điểm của cạnh AB (điều phải chứng minh). Bài tập tự luyện dạng 1