(3,5 ĐIỂM) CHO TAM GIÁC ABC VUÔNG TẠI B , CÓ AB = 5 CM AC...
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại B , có AB = 5 cm AC ; = 13 cm .
a/ Tính độ dài cạnh BC và so sánh các góc của tam giác ABC .
b/ Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho B là trung điểm của
đoạn thẳng AD . Chứng minh tam giác ACD cân
c/ Gọi M là trung điểm của CD . Đường thẳng AM cắt BC tại G .
Tính độ dài đoạn thẳng GB .
d/ Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC , cắt cạnh AC tại N .
Chứng minh ba điểm D G N , , thẳng hàng.
Lời giải
C
I
N
M
G
B
A
D
a/ Xét ∆ABC vuông tại B có:
+ =
2
2
2
AB BC AC (Định lí Pytago)
⇒ BC = 12 cm
Có AC > BC > AB
⇒ ABC > BAC > BCA (định lí)
b/ Xét ∆DCA có:
CB là đường trung tuyến ( B là trung điểm của AD )
AM là đường trung tuyến ( M là trung điểm của CD )
{ }
∩ =
AM CB G
⇒ G là trọng tâm của ∆DCA (định lí)
⇒ = 1 =
3 4
GB BC
d/ Gọi I là giao điểm của MN và BC
Xét ∆DCB vuông tại B có:
BM là đường trung tuyến
⇒ BM = MC = MD (định lí)
⇒ ∆MBC cân tại M .
Mà MI là đường cao
⇒ MI đồng thời là đường trung trực của BC
Hay MN là đường trung trực của BC
⇒ NC = NB (định lí)
Xét ∆ACB vuông tại B có
+ = 90
0
BCA BAC
Mà CBN + NBA = 90
0