GỌI X, Y, Z LÀ KHOẢNG CÁCH TỪ CÁC ĐIỂM M THUỘC MIỀN TRONG CỦA ABC...

Bài 4:

Gọi x, y, z là khoảng cách từ các điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc

nhọn đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:





x

y

z

a

²

b

²

c

²







. Dấu “=” xảy ra khi nào?

2R

(a, b, c là các cạnh của ABC, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp).

Giải











Ta có:

a

²

b

²

c

²

a

a

b.

b

c.

c

2R

2R

2R

2R







VP



asinA bsinB csinC





a

^2S

b

^2S

c

^2S

2S

^a

^b

^c





















bc

ac

ab

bc ac ab

Mặt khác ta có: 2S = ax + by + cz, do đó:

^a

²

^

_2R

^b

²

^

^c

²

^



^{ax by cz}

^

^



^

_

_{bc c ab}

^a

^{ }

^b

^c

^

_





(1)













Ta có:

a

b

c

1 b c

1 c a

1 a b









































bc ac ab 2a c b

2b a c

2c b a



 



Vậy a

b

c

1 1 1





bc ac ab a b c





  

Vì

b c

2

a b





(2)

Từ (1) và (2) ta có:

2

2

2

a

b

c

ax by cz

1 1 1

















 







 

2R

a b c

2

2

1

ax

1

by

1

cz

x

y

z

^

^



^

^

^



^



^

^



a

b

c





Suy ra:

x

y

z

a

²

b

²

c

²







.

      



 

























 







Dấu “=” xảy ra

b c a c a b 2

a b c

ABC đều

c b c a b a

x y z

M : trọng tâm

a x b y c z