VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG

3) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng: Cho mặt cầu tâm

I

, bán kính

R

và đường thẳng



,

^h

⁼

^{d I}

( )

^,

^

^,

^H

^là hình chiếu của

I

lên mặt phẳng



.

•

h



R

thì



và mặt cầu

( )

I

không giao nhau

•

h

=

R

thì



và mặt cầu

( )

I

tiếp xúc nhau tại

H

. Hay



là tiếp tuyến của mặt cầu

( )

I

.

•

h



R

thì



và mặt cầu

( )

I

cắt nhau tại hai điểm phân biệt

A B

,

và

H

R

=

AB

+

h

. là trung điểm của dây cung

AB

, do đó:

²

²

²

4

Ví dụ 1.4.6

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

, cho điểm

A

(0; 0; 2)

−

và

x

+

y

−

z

+

đường thẳng

:

²

²

³



=

=

. Tính khoảng cách từ

A

đến



. Viết

2

3

2

phương trình mặt cầu tâm

A

, cắt



tại hai điểm

B

và

C

sao cho

BC

=

8

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Lời giải.

Đường thẳng



qua

^M

(

⁻

^{2; 2; 3}

⁻

)

^{và có}

^u

⁼

(

^{2; 3; 2}

)









 =

=

vtcp;

^{d A}

(

^,

)

^{AM u}

^,

³

u

Gọi

H

là hình chiếu của

A

lên



thì

AH

=

3

và

H

là trung điểm của

BC

nên

BH

=

4

. Vậy bán kính mặt cầu là

AB

=

AH

²

+

BH

²

=

5

. Nên phương trình mặt cầu là

^x

²

⁺

^y

²

⁺

(

^z

⁺

²

)

²

⁼

²⁵

^.

Ví dụ 2.4.6

Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz

:

x

−

=

y

−

=

z

và mặt phẳng Cho đường thẳng



có phương trình:

¹

³

2

4

1

( ) : 2

P

x

− +

y

2

z

=

0

. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng



, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng

( )

P

Đề thi ĐH Khối D – 2011Gọi (S) là mặt cầu cần tìm,

I

là tâm.

 = +

x

t

1

2







= +

Phương trình tham số đường thẳng

:

3

4

y

t

 =



z

t

Vì

^I

^{  }

^I

(

¹

⁺

^{2 ; 3}

^t

⁺

^{4 ;}

^{t t}

)

^. Ta có

( )

P

tiếp xúc với

( )

S

t

t

t

= 

=  =

= −

nên

( , ( ))

1

²⁽¹

^{2 )}

⁽³

^{4 )}

²

1

2,

1

d I

P

+

−

+

+

t

t

3

•

t

= 

2

I

(5;11; 2)



phương trình mặt cầu

2

2

2

( ) : (

S

x

−

5)

+

(

y

−

11)

+

(

z

−

2)

=

1

•

t

= −

1

 − − −

I

( 1; 1; 1)

, suy ra phương trình

( ) : (

S

x

+

1)

+

(

y

+

1)

+

(

z

+

1)

=

1

.

Ví dụ 3.4.6

Trong không gian với hệ tọa độ Đề các vuông góc

Oxyz

cho

(1; 2; 2)

I

−

và mặt phẳng

( )

^P

^{: 2}

^x

⁺

²

^y

^{+ + =}

^z

⁵

⁰