KHỐI CHÓP S.ABC CÓ ĐÁY ABC LÀ TAM GIÁC VUÔNG CÂN ĐỈNH C VÀ SA ⊥ ( ABC...

Bài 18: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA ^{⊥ ( ABC )} , SC = a.

Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.

Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất:

S

+ gt: ^{SA ⊥ ( ABC ) & AC ⊥ CB ⇒ SC ⊥ CB}

+ Gọi ^{α =} ( ^{( SCB ), ( ABC )} ) ^{⇒ = α SCA · (0}

^{< < α 90 )}

 = =

α

∆ = ⇒  

SA SC SCA a

SAC A v

+ ^{, µ 1 .sin ·} _· ^sin

= =



. os os

AC SC c SCA ac

a

1 1 1 1

+

. . . os .a sin

V = S SA = AC SA = a c α α

3 3 2 6

A B

1 os .sin

V = a c α α

6

+ Xét hàm số: f ^{( )} α = c os .sin , 0

α α

< < α 90

C

( )( )

2

3

2

3

3

'( ) 2cos .sin os 2cos (1 os ) os 3cos 2cos cos 3 os 2 3 os 2

f α = − α α + c α = − α − c α + c α = α − α = α c α − c α +

Vì: ⁰

^{< < α 90}

^{⇒ c os α > ⇒ 0 c os α} ( ^{3 os c α + 2} ) ^{> 0}

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ =    = < < ÷ ÷ 

f α c α c α α β  c β β 

Do đó: ^{'( ) 0 3 os 2 0 os 2 ; os 2 ; 0}

⁹⁰

3 3

Lập bảng biến thiên hàm số f( ^α ) trên khoảng ( ^{0 ; 90}

) ^:

α 0

^β 90

f’( ^α ) ^P + 0 - ^P

f( ^α ) f

P 0 0 ^P

0966959635

Ta có f( ^α ) lớn nhất ^⇔ os ²

c α = 3 .

Vậy thể tích S.ABC lớn nhất ^⇔ f( ^α ) lớn nhất ^⇔ os ²

c α = 3 .