CHO ĐƯỜNG TRÒN (O; R) VÀ ĐI M M N M NGOÀI (O). VẼ 2 TI P TUY N MA, MB...
Câu 5: Cho đ
ườ
ng tròn (O; R) và đi m M n m ngoài (O). Vẽ 2 ti p tuy n MA, MB và cát tuy n MCD c a
ể
ằ
ế
ế
ế
ủ
(O) (A, B là ti p đi m, C n m gi a M và D; A và C n m khác phía đ i v i đ
ế
ể
ằ
ữ
ằ
ố ớ ườ
ng th ng MO). G i I là
ẳ
ọ
trung đi m CD
ể
a) Ch ng minh: MB
ứ
2
= MC.MD
Gi i:
ả
M
^
1
: chung
B
^
1
= ^
D
1
(h qu góc t o b i ti p tuy n và dây cung)
ệ
ả
ạ
ở ế
ế
⇒
∆MBC ∆MDB (g.g)
∽
⇒
MB
MD
=
MC
MB
⇔MB
2
=MC . MD
b) Ch ng minh: t giác AOIB n i ti p
ứ
ứ
ộ ế
Ta có
M
AO=90
^
0
(tính ch t ti p tuy n)
ấ
ế
ế
⇒
Đi m A thu c đ
ể
ộ
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính MO (1)
Ta có
M
B O=90
^
0
(tính ch t ti p tuy n)
ấ
ế
ế
⇒
Đi m B thu c đ
ể
ộ
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính MO (2)
Ta có I là trung đi m c a CD và dây CD không qua tâm O
ể
ủ
⇒
OI
¿
CD (liên h gi a đ
ệ ữ
ườ
ng kính và dây cung)
⇒
M
^
I O=90
0
⇒
Đi m I thu c đ
ể
ộ
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính MO (3)
T (1), (2) và (3)
ừ
⇒
5 đi m M, A, O, I, B cùng thu c đ
ể
ộ
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính MO
⇒
T giác AOIB n i ti p đ
ứ
ộ ế
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính MO
c) Tia BI c t (O) t i J. Ch ng minh: AD
ắ
ạ
ứ
2
= AJ.MD
Xét ∆MAC và ∆MDA có:
M
^
2
: chung
A
^
1
= ^
D
2
(h qu góc t o b i ti p tuy n và dây cung)
ệ
ả
ạ
ở ế
ế
⇒
∆MAC = ∆MDA (g.g)
⇒
M
C A=
^
M
A D
^
(4) (2 góc t
ươ
ng ng)
ứ
Ta có
A
DJ
^
=A
B J
^
(cùng ch n cung AJ c a đ
ắ
ủ
ườ
ng tròn (O))
=
A
M D
^
(5) (cùng ch n cung AI c a đ
ắ
ủ
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính MO)
Ta có
D
J A=
^
M
C A
^
(góc trong b ng góc đ i ngoài c a t giác ACDJ n i ti p đ
ằ
ố
ủ ứ
ộ ế
ườ
ng tròn (O))
=M
A D
^
(6) (do (4))
Xét ∆DJA và ∆MAD có:
D
^
J A=
M
A D
^
(do (6))
A
D J=
^
A
M D
^
(do (5))
⇒
∆DJA ∆MAD (g.g)
∽
⇒
AD
MD
=
AJ
AD
⇔
AD
2
=AJ . MD
d) Đ
ườ
ng th ng qua I song song v i DB c t AB t i K, tia CK c t OB t i G. Tính bán kính đ
ẳ
ớ
ắ
ạ
ắ
ạ
ườ
ng tròn
ngo i ti p ∆CIG theo R
ạ ế
⇒C
^
I K=C
D B
^
(2 góc v trí so le trong)
ở ị
=C
A K
^
(7) (cùng ch n cung BC c a đ
ắ
ủ
ườ
ng tròn (O))
Xét t giác ACKI có:
ứ
C
^
I K
=C
A K
^
(do (7))
⇒
T giác ACKI n i ti p (t giác có 2 đ nh A, I cùng nhìn c nh CK d
ứ
ộ ế
ứ
ỉ
ạ
ướ
i m t góc b ng nhau)
ộ
ằ
⇒
I
C G=I
^
A K
^
(cùng ch n cung IK)
ắ
=I
O G
^
(8) (cùng ch n cung IB c a t giác AOIB n i ti p)
ắ
ủ ứ
ộ ế
Xét t giác OIGC có:
ứ
I
C G
^
=I
OG
^
(do (8))
⇒
T giác OIGC n i ti p (t giác có 2 đ nh C, O cùng nhìn c nh GI d
ứ
ộ ế
ứ
ỉ
ạ
ướ
i m t góc b ng nhau)
ộ
ằ
⇒O
GC
^
=O
^
I C
(cùng ch n cung OC)
ắ
=90
0
(9) (vì OI
¿
CD)
⇒
Đi m G và I thu c đ
ể
ộ
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính OC
⇒
∆CIG thu c đ
ộ
ườ
ng tròn đ
ườ
ng kính OC
OC
2
=
R
2
⇒
Bán kính đ
ườ
ng tròn ngo i ti p ∆CIG là:
ạ ế